解讀教材找準抓手提高效益

“數學廣角”是人教版小學數學教材特有的單元。因為是新增設的內容，所以可以借鑒的教學經驗和指導方法比較少，在教學實踐中也出現了一些偏差：由于目標不明，有的把“數學廣角”上成了簡單的游戲活動課或傳統的應用題教學課；由于思維含量比較高，有的上完課后有很大一部分學生作業不會……這說明有不少具體問題需要進一步明確。如：目標如何定位?與傳統的應用題教學究竟有怎樣的關系?教材的編排特點能給我們什么啟示……筆者通過進一步研讀《數學課程標準(實驗稿)》(以下簡稱《標準》)及人教版實驗教材，對“數學廣角”的教學目標、教學內容進行梳理和分析，試圖結合一些教學實踐對這一內容的教材編排談一些認識與思考，以期拋磚引玉。

一、課程目標與定位

我們知道，數學思想方法是數學知識的重要組成部分，也是一個人數學素養的基本內容。《標準》在總體目標中也明確指出：“通過義務教育階段的數學學習，使學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識以及基本的數學思想方法與必要的應用技能。”因此，使每位學生能初步感受一些基本的數學思想方法是“數學廣角”的主要教學目標之一。

《標準》在教材編寫建議中明確提出：“根據學生已有經驗、心理發展規律以及所學內容的特點，一些重要的數學概念與數學思想應采用逐步滲透、深化、螺旋上升的方式編排。”基于這樣的指導意義，人教版實驗教材關于“數學廣角”單元的編排思路，主要是通過一些比較簡單的事例滲透一些重要的數學思想方法，讓學生在解決問題的過程中主動嘗試從數學的角度尋求解決問題的策略，經歷猜想、實驗、推理等數學探索活動的過程，逐步增加學生解決實際問題的經驗和能力，體會一些重要的數學思想方法。

二、與傳統應用題教學的關系

“數學廣角”不同于傳統的應用題教學，它并不是傳統意義上應用題教學的代名詞。傳統的應用題雖然也注重聯系實際，但主要是作為幫助學生理解數學知識的一種手段，呈現的大多是答案唯一的問題，往往缺乏開放性。傳統的應用題也重視培養學生解決簡單問題的能力，但主要是看能否解答書上的問題，教學中更多關注的是學生的解題能力，學生的解題過程很大程度上成了“理解數量關系——搜尋記憶的圖式——運用對應圖式作解答”的一個過程。而“數學廣角”強調體驗和抽象的過程，呈現的問題更具有開放性與挑戰性。在解決問題的過程中，學生不能依靠簡單的模仿和記憶，而是需要積極思考，不斷對信息進行加工與處理，通過觀察、操作、猜想、實驗、抽象等一系列的數學活動，使他們在提高數學思維水平的同時，體會到一些重要的數學思想方法。例如三年級上冊的“數學廣角”，教材安排了有關衣服的搭配問題：有2件上裝和3件下裝，讓學生找出不同的穿法；討論有關中國隊參加世界杯足球賽時，小組比賽的場次問題：4個國家一共要踢幾場比賽?教材利用學生身邊的事例引出數學問題，使學生通過觀察、猜測、操作、交流等活動，找出簡單事物的排列數和組合數。同時，初步培養學生觀察、操作、分析及推理的能力和有序地、全面地思考問題的能力，增強用數學方法解決實際問題的意識。

三、教材的編排特點及啟示

人教版宴驗教材除了重視在基礎知識的教學中加強滲透外，還在每一冊專門增設“數學廣角”單元，向學生呈現一些重要的數學思想方法。具體編排如下表：

冊數 單元數 內容

第一冊 第五單元 分類

第二冊 第八單元 找規律

第三冊 第八單元 簡單的排列組合邏輯推理

第四冊 第九單元 找規律

第五冊 第九單元 排列組合

第六冊 第九單元 重疊問題、等量代換

第七冊 第七單元 運籌學

第八冊 第八單元 植樹問題

第九冊 第七單元 編碼問題

第十冊 第七單元 找次品

第十一冊 第七單元 雞兔同籠問題

第十二冊 第五單元 抽屜原理

筆者發現“數學廣角”在每一個學段都有不同的要求。在第一學段要求以“操作實踐”為主題，考慮到這一階段學生儲備的數學知識比較零碎，已有的生活經驗不夠豐富，因此引導學生通過“操作實踐”的活動來展開探究，使他們體驗到現實生活中隱含著數學知識，同時初步培養他們觀察、操作及歸納推理的能力。第二學段要求以“抽象建模”為主題，考慮到學生經過第一階段的學習，已有了一定的數學知識和解決簡單問題的經驗，也有了一定的邏輯思維能力，因此在繼續強調實踐與經驗的基礎上，增強“抽象建模”的要求。這樣，不僅使學生理解并初步掌握一些數學思想與模型，而且提高了他們用數學知識解決實際問題的能力，逐步形成有序、嚴密抽象思考問題的意識和習慣。

另外，人教版教材編排這些內容有以下一些特點，通過對這些特點的進一步分析和梳理，從中獲得了不少啟示。

1 密切聯系生活。

啟示之一：教學要基于學生的生活

翻開教材我們不難發現，“數學廣角”的內容都是源于學生熟悉的生活事例。如在聯歡會裝飾中尋找規律、在服裝搭配中滲透排列組合思想、在烙餅和燒水中滲透運籌思想、在猜書活動中培養合情推理能力、在郵政編碼與身份證號碼中感悟編碼思想等，使原來比較抽象、深奧的數學思想方法有了豐富的現實背景。情境中的元素、課后的練習題，也都是學生在生活中比較熟悉的、生動有趣的素材。如第三冊教材“數學廣角”的練習題呈現了穿衣服、乒乓球比賽、拍球游戲等問題情境；第七冊教材通過烙餅、沏茶的問題解決體會運籌思想后，設計了廚師炒菜、感冒吃藥的練習；第十一冊教材學習雞兔同籠問題后，在練習中安排了租船、植樹活動、籃球賽記分等習題……這樣編排體現了“學生的數學學習內容應是現實的、有意義的、富有挑戰性的”理念，使數學更貼近學生的生活實際，有利于激發他們對數學的好奇心和求知欲，幫助他們建構知識、加深理解。同時，也啟示我們：有效的數學學習活動應建立在學生已有的生活經驗基礎上，教師的“教”應該基于學生的生活經驗進行。

根據小學生的心理特點和認知規律可知，小學生很容易對比較熟悉的、現實且有意義的學習材料產生學習積極性，進而能深入探究，在深刻理解數學思想方法的同時，還可以逐步提高數學思維能力。為了能更清楚地說明上述觀點，現以第五冊“數學廣角”的例1(排列組合)為例：

師：這是小紅的媽媽為小紅準備的一些衣褲(2件上裝，3條褲子)。媽媽讓小紅自己搭配著穿，怎么知道有幾種不同的穿法呢?你能幫幫她嗎?

生：試試看不就知道了。

師：請每位同學自己動手擺一擺服裝圖片，你能搭配出幾種不同的穿法?(學生動手操作，教師巡視指導)

師：把你的搭配方法告訴小組同學。看一看，誰能把所有的穿法都搭配出來?(學生合作交流)

生1：我們組認為有6種穿法。先確定第1件衣服。用它分別與3條褲子搭配，這是3種穿法；然后再來確定第2件衣服，用它也與3條褲子分別搭配，這又是3種穿法，所以共有6種穿法。

生2：我們組也認為有6種穿法。先確定第1條褲子分別配2件上衣，這是2種穿法；再用第2條褲子分別配2件上衣，又是2種穿法；最后用第3條褲子來搭配2件上衣，還是2種穿法，所以一共有2+2+2=6(種)穿法。

生1：還可以用算式2×3=6(種)表示

生2：不用擺，連線也可以的。

一個搭配衣褲的生活問題，巧妙地把學生帶入到了美麗的數學課堂，使學生積極地投身于數學思考與合作交流之中。這樣的教學，源于學生的生活實際，符合學生的認知水平，有利于數學活動的有效開展。實踐證明，這樣的教學激發了學生內在的求知欲，通過操作、觀察、交流等活動，不僅使他們獲取了六種不同的搭配方法，而且理解了有序思考、全面考慮問題的數學思考方法，為提高學生的數學能力奠定了基礎。

2 突出解決問題。

啟示之二：讓學生經歷探索數學知識的過程

圍繞問題的解決，讓學生經歷探索數學的過程，進而使學生理解數學思想方法和提高數學思維能力，這是人教版小學數學宴驗教材編排“數學廣角”的又一特點。解決問題是數學活動的核心，但解決問題并不等于解題。對學生的發展而言，解決問題的核心是需要學生通過觀察、思考、猜測、交流、推理等富有思維成分的活動來弄明事理，同時可以培養學生從數學的角度提出問題、理解問題的意識和能力，學會與人合作、分享，幫助他們形成一些基本的解題策略。比如：結合重疊問題滲透集合思想；結合植樹問題、雞兔同籠問題培養學生有序地、全面地思考問題的意識，使他們體會到解題策略的多樣化；通過找次品的問題來滲透優化思想，擴充分析問題的思考方法等。下面以第八冊教材“數學廣角”的例1為例：

這一例題是關于一條路上兩端都要栽樹的植樹問題，教材用四幅圖來呈現學生探索解決問題的思考過程。我們發現，教材在編排時十分注意給學生提供積極思考、充分參與數學活動的時間和空間，使學生有更多的機會去親歷探索、操作實踐，與同學交流和分享。同時，也很明確地告訴我們，在教學時要力求體現“問題情境——建立數學模型——解釋、應用與拓展”的模式。

我們知道，數學思想方法是一種基于數學知識又高于數學知識的隱}生數學知識，而小學生的思維又以具體形象思維為主，所以如果在教學中不注重引導學生親歷數學探究的全過程，很容易造成學生學習后大部分作業不會做的現象。因此，教學時教師要關注學生的認知起點和教學的落腳點，為學生構建一個親身經歷探索數學知識的平臺，通過在解決問題中展開觀察、操作、猜測、實驗、推理與交流等數學活動，感受數學思想方法，提高他們的數學思維能力和解決問題的能力。《標準》也明確強調：“學習數學知識應從學生已有的生活經驗出發，讓學生親自經歷將實際問題抽象成數學模型并進行解釋與運用的過程。”可見，讓學生親歷探索數學知識的過程不僅是一種教學方式，而且是一個教學目標，還是一種教學理念。因此，教師要充分尊重學生的主體地位，改變以往單一、被動的接受式學習方式，倡導具有“自主、合作、探究”特征的學習方式，培養學生的數學能力和創新精神。

3 注重直觀手段。

啟示之三：加強直觀形象思維對學生學習數學的作用

“數學廣角”的內容編排非常強調利用直觀手段來幫助學生理解問題情境，感悟思想方法，提高學習效率。比如：第三冊教材安排了擺數字卡片和握手的情境來體現簡單的排列組合；第五冊教材利用連線的方式來呈現搭配衣褲的有序思考；第六冊教材利用集合圈把兩個課外小組的關系直觀地表達出來，利用天平的原理來幫助學生體會等量代換的思想方法；第八冊教材利用線段圖來揭示植樹問題的一般規律；第十冊教材利用列表、畫圖等方式幫助學生抽象地分析如何找次品等。從兒童思維的特點來看：小學生的思維是以具體形象思維為主，并逐步向抽象邏輯思維過渡。但是，這時學生的思維還是直接與感性經驗、形象材料相聯系的，需要直觀手段的支持。而我們在教學中時常會忽視直觀形象思維對學生學習數學的作用，使學生感到數學是枯燥、無趣和難以理解的，出現了學習熱情與學習效率低下的情況。因此，關注學生的形象思維能力，是幫助他們學習抽象數學知識的前提。由此可見，教師在教學過程中要經常利用實物、教具、圖表、生活經驗、幽默語言等直觀教學手段來幫助學生學習數學。直觀教學手段除了能更好地集中學生的注意力，引導學生更好地感知事物，加深對數學思想方法的理解及記憶以外，還能啟發他們積極思考，培養猜測實驗、分析推理的能力和探索精神。

“數學廣角”雖然在整個小學數學教學中所占的比例不是很大，但它對學生數學能力的提高與后續發展中的作用不容忽視。我們只有通過不斷研讀新教材、實踐新理念，才能把握住課程改革的脈搏，才能有效地實現教學相長，真正讓課堂煥發出生命的光彩。