數學判斷題不應有歧義

判斷題又叫是非題，一般是呈現一個命題句，學生對需判斷的命題作出是非判斷。判斷題是學生在數學學習中常見的題型。好的數學判斷題能促使學生聯系該命題涉及的數學知識，從而進行積極的數學思維，有利于學生把握數學知識的本質與內涵。但有一些數學判斷題常常引起學生甚至教師之間的爭論。

案例描述

案例1

判斷：從圓心到圓上任意一點的距離處處相等。

(來源：蘇教版第十一冊教材《圓的認識》練習二十四第2題)

這是近日我校舉行青年教師“同課異構”式賽課中出現的一道判斷題。在教學時三位賽課教師卻給出了兩種不同的答案，評課時也出現了兩派不同的意見。有教師認為該命題錯誤，理由是這樣表達不嚴密，應該加上“在同一個圓內”。也有教師認為恰好相反，該命題正確，因為這題考察的是“從圓心”到哪里的距離，如果是“從圓心”到“圓內”或是“圓外”那就不是半徑的距離了，就不對了。另外，這題可以看作已經默認是在“在同一個圓內”，無需說明，不作說明符合實際生活中的語言規(guī)范，是一種約定俗成的省略，就像“媽媽比女兒年齡大”，沒有誰在說之前加上“在女兒是該媽媽所生的前提下”這句話吧?同理，總不可能是從這個圓的“圓心”畫到別的圓的“圓上”吧，如果可能那就是無理取鬧了，還是數學問題所討論的范圍嗎?

孰是孰非，各執(zhí)一詞，誰也說服不了誰，這個題算是有歧義的判斷題。筆者不禁要問：這樣的歧義問題有何價值?數學判斷題能有歧義嗎?為什么不能把命題表達準確了?或正確或錯誤都行，但要準確，不能在一些枝節(jié)問題或無關問題上引起不必要的爭論。反觀當前的小學數學教學中，像這樣有歧義的判斷題還有不少，舉例如下。

案例2

判斷：百分數是分母為100的分數。

(來源：中國少年兒童出版社《數學教案與作業(yè)設計》第十一冊百分數的配套練習)

這道題如果從百分數的意義上講，答案顯然是錯誤的。“雖然世上先有分數，后有百分數，百分數投胎于分母為100的分數。但是，隨著社會的發(fā)展和科技的進步，分數與百分數兩者在意義上不完全相同了”(參見《中小學數學》2001年第7、8合刊第62頁“關于百分數的若干認識”。)現行教材對于百分數的定義也很明確：“表示一個數是另一個數的百分之幾的數，叫做百分數”，看來百分數是用來表示兩個數量之間的關系，而并不等于分母是100的分數。

但是如果我們從百分數的歸屬上來說，這道題應該是正確的，因為百分數屬于分數的一類。分數有兩類：一類是表示具體數量的，一類是表示兩個數量之間的關系的，即分率。從這個角度說，百分數屬于分數中的一種，并且也是分母為100的分數。

案例3

判斷：任何一個數和它的倒數相乘都得1。

(來源：某地2006年第十一冊數學評測試卷)

對于此命題，一些學生認為是錯誤的，因為這里的“任何一個數”并沒有把0去除。這個數有可能是0的情況，0乘任何數都得0，并不一定等于1。還有一些學生則認為，書上明確指出“0沒有倒數”，那此命題中說“一個數和它的倒數”，“一個數”已經不包含是“0”的情況了，否則“0這個數和它的倒數相乘”本身就錯了，因而此題正確。

案例4：

判斷：一批種子做試驗，有100粒發(fā)芽，5粒沒有發(fā)芽，發(fā)芽率是95％。

(來源：中山大學出版社《小學畢業(yè)班名師精講精練題庳》)

教師出這道題的本意是判斷這道題是錯的，因為學生會誤算成(100-5)÷100＝95％，但是用正確方法算是100÷(100＋5)＝0.952380……≈95％。雖然命題中少寫了一個“約”字，有可能使學生的想法和出這道題的考察本意有出入。

反思重建

筆者認為，判斷題的命題句通常是一些比較重要的或有意義的概念、事實、原理和結論的正例或反例，能有歧義嗎?行文至此，顯然是不能的。教師在出判斷題時須注意兩條策略。

策略1：從考察的知識指向出發(fā)。對于這種模棱兩可的歧義題目，專家學者都存在爭論，花上“千字文墨”都很難論述清楚是正確還是錯誤，何況學生呢?如果一個判斷題從意義的理解是正確的，而從歸屬上來理解又是錯誤的，還是不出為妙。如案例2中“百分數是分母為100的分數。”這樣的判斷題出得欠妥，因為對此判斷題本身有了不同的理解，會使學生對“百分數”的定義產生誤解，而不是對“百分數”的概念更加明確，這也就違背了出這道題的本意。又如案例1中“從圓心到圓上任意一點的距離處處相等。”可以干脆改為“在同一個圓內，從圓心到圓上任意一點的距離處處相等”，這樣考察內容就明確了。也可以換個明確的知識點考察，如改為“連接圓心到圓上任意一點的線段叫做半徑”，用以考察概念，這樣問題的指向清楚了，避免拘泥于非本質內容而沉浸于無休止的爭論中。

策略2：從學生的思維過程出發(fā)。教師在出判斷題時，切忌出類似如案例4中“一批種子做試驗，有100粒發(fā)芽，5粒沒有發(fā)芽，發(fā)芽率是95％”這種題目。因為這類題目平時比較優(yōu)秀的學生更容易錯，他們比一般同學想得深，于是經過計算約等于95％是成立的。所以此題可以改為“一批種子做試驗，有100粒發(fā)芽，15粒沒有發(fā)芽，發(fā)芽率是85％”，這樣，正確解法是100÷(100＋15)＝≈87％，就不會出現上述歧義了。又如案例3中“任何一個數和它的倒數相乘都得1”，干脆把“任何”這個詞去除，改成“一個數和它的倒數相乘都得l”，能為學生的思維過程著想就要著想，我們是評價學生的學業(yè)，而不是用難題來故意刁難學生。

理性思索

由上述的案例分析與反思重建，筆者覺得問題的焦點已經不再于答案本身，我們需要思考的是：這類帶有歧義的判斷題是“有價值的數學”嗎?它究竟能給學生帶來什么?由此進一步思索：我們的數學教學到底怎么了?

1．數學知識：是客觀，還是主觀?對于下面這道判斷題，老師們并不陌生。“含有未知數的式子叫方程。”判斷錯誤，應把“式子”改為“等式”才對，我們一直這樣教學生、考學生。可是這樣判斷，就是絕對正確了嗎?張奠宙先生曾在《小學數學教師》上撰文說：“其實，含有未知數的等式叫方程，也并非是方程的嚴格定義，它僅是一種樸素的描寫，并沒有明確的外延，是經不起推敲的。首先，改成‘等式’二字也未必正確，實際上應是‘條件等式’才對。因為含有未知數的恒等式不是我們研究的方程。例如，x－x＝0，對一切x都對，何必解呢?反過來，把解‘含有未知數的不等式’，稱之為‘解不等式方程’，也可以說得通，無非是大家約定俗成而已。”看了這段話，我們有何感想?袁振國教授說：“數學就是人們的一種主觀建構，從某種程度上說它就是無中生有。”我們不能動搖數學的客觀性，但我們是否也應該關注數學的主觀性。在關注數學事實的同時，是否更應該關注孩子的數學經驗。“3×4”變成“4×3”是否就影響了學生對乘法本質意義的理解呢?現在我們中國的數學教育不已經改過來，不分“乘”和“乘以”了么，省去了多少主觀困擾。2．評價內容：是形式，還是本質?數學是嚴謹的，邏輯性強，但這種人為制造的無謂爭論除了給學生帶來困惑與茫然之外還能帶來什么?這種現象的產生實際上是過度追求形式化的結果。當我們還陷于兩個因數位置之爭時，西方教育界卻提出了“非形式化的數學教學”口號。形式化固然是數學的特點，但絕對的形式化是做不到的，適度的非形式化反而有利于學生把握數學的實質。沒有說明“在同一個圓內”，就會導致學生拿此圓比彼圓嗎?因此，數學教學判斷題不能一味追求表達形式的邏輯性，不能過于咬文嚼字、死扣字眼，這樣的結果只會把大部分學生“嚇跑”，并不能促進學生在數學學習中真正意義的發(fā)展。最后，筆者認為數學判斷題不能有歧義。有歧義的數學判斷題本身與數學的嚴謹是不協(xié)調，又何談這嚴密那邏輯的呢。由此，我們的數學教學也應呼喚返璞歸真，以求得對數學精神實質的把握與形式化表達的動態(tài)平衡。

責任編輯：陳國慶