變力做功問題歸類例析

2007-12-31 00:00:00李健華

物理教學探討 2007年20期

功的求解是高中物理教學的重點和難點之一，恒力做功可用公式W=Fscosα來求解，但如果是變力做功，即力的大小或方向在做功過程中發生了變化，就很難套用該公式了。而學生遇到此類做功的問題時，常常感到很棘手。現就中學階段出現的變力做功問題進行歸類例析，以期達到拋磚引玉之功效。

1 平均值法

有一些變力，如彈簧彈力雖然大小隨位移變化而變化，但是它們的變化關系是線性關系，可以用力的初始值F₁和末狀態值F₂的平均值=F₁+F₂/2來計算變力所做的功。

例1 如圖1所示，輕彈簧一端與豎直墻壁連接，另一端與一質量為m的木塊連接，放在光滑的水平面上，彈簧的勁度系數為k，彈簧處于自然狀態。用水平力緩慢拉物體，使物體前進x，求這一過程中拉力對物體做了多少功？

解析緩慢拉動物體，可認為物體處于平衡狀態，故拉力等于彈力大小，有

F=kx，

而彈簧的彈力為變力，與彈簧的形變量成正比，在題設條件下，彈力的初始值為F₁=0，終值為F₂=kx，可用平均力=0+kx/2=kx/2求功，有

W=F#8226;s=kx/2#8226;x=1/2kx²。

2 分段法

有些力（如摩擦力、空氣阻力），在曲線運動（如往返運動中）過程中所做的功并不等于力和位移的乘積，而是力與路程的乘積，這類力的功可分段考慮求解。

例2 如圖2所示，質量為m的物體以一定初速度滑上斜面，上滑到最高點后又沿原路返回。已知斜面傾角為θ，物體與斜面的動摩擦因數為μ，上滑的最大高度為h。則物體從開始滑上斜面到滑回到原出發點的過程中摩擦力做功又是多少？

解析因為上滑與下滑時摩擦力方向相反（上滑時沿斜面向下，下滑時沿斜面向上），全程不是恒力，所以不能把全程位移s=0代入W=F#8226;scosα計算全程的摩擦力所做的功。所以要分段運算，然后求和。依題意有

W_f上滑＝f#8226;scosα=-μmgcosθ#8226;h/sinθ

=-μmghcotθ，

W_f下滑＝f#8226;scosα=-μmgcosθ#8226;h/sinθ

=-μmghcotθ。

所以有

W_總＝W_f上滑＋W_f下滑＝-2μmghcotθ。

3 研究對象轉換法

根據題設的條件轉換研究對象，從而將求變力所做功的問題轉化成求恒力所做功的問題。

例3 人在A點拉著繩通過離地面的高度為h光滑定滑輪，吊起質量m的物體，如圖3所示，開始繩與水平方向的夾角為α，當人勻速地提起物體由A點沿水平方向運動到達B點，此時繩與水平方向成β角，求人對繩的拉力所做的功。

解析人對繩的拉力大小雖然始終等于物體的重力，但方向卻時刻在變化，無法利用恒力公式直接求出人對繩的拉力所做的功，若轉換研究對象就不難發現，人對繩的拉力所做的功與繩對物體的拉力所做的功相同，而繩對物體的拉力是恒力，滑輪離地面的高度為h。人由A走到B的過程中，物體G上升的高度等于滑輪右側的繩子增加的長度，即

Δh=h/sinβ-h/sinα。

人對繩子做的功為

W=Fs=GΔh，即W=Gh(1/sinβ-1/sinα)。

4 微元累積法

將物體的位移分割成許多小段，因為小段很小，每一小段上作用在物體上的力可以視為恒力，這樣就將變力做功轉化為在無數多個無窮小的位移上的恒力所做元功的代數和。此法在中學階段，常應用于求解力的大小不變、方向改變或者方向不變、大小改變的變力做功問題。

例4 在水平面，有一彎曲的槽道⌒AB ，槽道由半徑分別為R2和R的兩個半圓構成，如圖4所示，現用大小恒為F的拉力將一光滑小球從A點沿槽道拉至B點，若拉力F的方向時時刻刻均與小球運動方向一致，則此過程中拉力所做的功為多少？

解析拉力F沿槽道轉動過程中，力的大小雖然不變，但方向不斷變化，不能直接使用公式W=Fscosα進行計算。但是我們可以用微元分割法，把整個運動過程分割成n個微過程，這樣就把軌道(⌒AB)分割成n段小弧，使每一小段弧都可以看成這段弧的切線，即可以看成是這段的位移，其中每小段的弧長為Δs=3/2πR/n。這樣，由于F的大小不變，加之與位移的方向相同，因而對每小段圓弧均可為恒力做功，所以拉力F做元功為

ΔW=F#8226;ΔS=F#8226;3/2πR/n，

所以由A到B過程中拉力F所做總功為

W=W₁+W₂+…+W_n=F#8226;s₁+F#8226;s₂+…+F#8226;s_n=nΔW=3/2πFR。

5 圖象法

在題設情況下，如果能找出力F與位移s的函數關系，則在F－s的直角坐標系中，做出F隨s變化的圖象，那么，圖象與橫坐標軸所圍成的圖形的面積即是F對物體在某一段位移上所做功的數值。

例5 如圖5所示，長度為l、質量為m的均勻的繩，一段置于水平的足夠高的光滑桌面上，另一段a垂于桌面上，當繩下滑全部離開桌面時，求重力所做的功。

解析開始使繩下滑的力是a段繩所受的重力，此后下垂的繩逐漸增大，使下滑的力也逐漸增大，且隨下垂段的增大成線性增大，所以這是一個變力做功的問題。由于繩的質量為m，開始使繩下滑的力是a段繩所受的重力F=almg，當繩全部離開桌面時，繩下滑的位移是l-a，且此時下滑力是整條繩所受的重力mg。在此區間使繩下滑的重力均勻地增加，如圖6所示。那么，重力做的功在數值上就等于圖線所包圍的梯形面積，即

W=1/2#8226;（almg+mg）#8226;(l-a)

=mg(l²-a²)/2l。

6 W=Pt公式法

根據功率恒定，求變力的功可用W=Pt來求解。

例6 一輛質量為m汽車在平直的公路上以額定功率從靜止開始加速行駛，經過一段時間t前進了一段距離s，此時恰好達到其最大速度vm，設汽車所受的阻力是車重的n(n<1)倍，則在這段時間里，發動機所做的功。

解析因機車的功率恒定，當機車從靜止開始達到最大速度的過程中，由F=Pv可知牽引力不斷減小，當速度達到最大值時，機車所受牽引力達到最小值，與阻力相等。在這段時間內機車所受阻力可認為是恒力，但牽引力是變力。由于在加速到最大速度過程中，功率保持不變，所以有

W=Pt，（1）

而當汽車達到最大速度時，汽車將以vm做勻速直線運動，有

F=f=nmg，（2）

同時額定功率為

P=F#8226;v_m，（3）

聯立（1）（2）（3）解得

W=nmgv_mt。

7 動能定理法

由動能定理可知，外力對物體所做的功等于物體動能的變化，即Ｗ_外＝ΔＥ_ｋ，Ｗ_外系指物體受到的所有外力（外力可為恒力，但也可為變力）對物體所做功的代數和，ΔＥ_ｋ是物體動能的變化量。

例7 如圖7所示，質量為m的物體用細繩經過光滑小孔牽引在光滑水平面上做勻速圓周運動，拉力為某值F時，轉動半徑為R，當拉力逐漸減小到F/4時，物體仍做勻速圓周運動，半徑為2R，則外力對物體所做的功大小是多少？

解析該題中繩的拉力顯然是變力，這里應用動能定理來求解．設當繩的拉力為F時，小球做勻速圓周運動的線速度為v₁，則有

8 機械能守恒定律法

我們知道，物體只受重力和彈力作用或只有重力和彈力做功時，所研究的系統的機械能守恒。如果重力和彈力中有一個力是變力，這個變力所做的功就可用機械能守恒定律求解。

例8 圖8所示是一個橫截面為半圓，半徑為R的光滑柱面，一根不可伸長的細線兩端分別系物體A、B，且mA=2mB，由圖示位置由靜止開始釋放A物體，當B物體達到半圓頂點時，求繩的張力對物體B所做的功。

解析在B物體達到半圓頂點過程，繩的張力是變力，但由于柱面是光滑的，故系統的機械能守恒。所以要求出繩的張力對物體B做的功，關鍵求出B到達圓柱頂點時的動能，由機械能守恒可知，系統重力勢能的減少等于系統動能的增加。

系統勢能的減小量為

ΔE_p=mAgπR/2-mBgR，

系統動能的增加量為

ΔE_k=1/2(m_A+m_B)v²，

由ΔE_p=ΔE_k得

v²=23(π-1)gR，

繩的張力對B球做的功

W=1/2mBv²+mBgR

=π+2/3mBgR

9 功能原理法

機械能守恒定律告訴我們，在只有重力和彈力做功時，系統的機械能守恒。言下之意，如果除重力和彈力之外的其它力對物體也做功，系統的機械能就會發生變化，而且這些力做了多少功，系統就有多少機械能發生轉化，這就是功能原理。如果這些力是變力或只有一個變力做功，而其它力對物體做的功和系統機械能的變化量容易求得，就可以用功能原理求解變力做功問題。

例9 如圖9所示，一人用定滑輪吊起一個質量為M的物體，繩子每單位長的質量為ρ，試求人將物體從地面吊起高度為L 的過程中所做的最小功。