淺談感應電動勢計算公式的適用范圍

高中物理教材中關于感應電動勢的計算公式一般認為有兩個：E=△φ/△t和E= BLvsinθ。它們都是法拉第電磁感應定律的數(shù)學公式表現(xiàn)形式，可以用來計算感應電動勢的大小。但對于這兩個公式的真正物理含義及適用范圍，有些學生還是模糊，以致于在求感應電動勢問題時出現(xiàn)錯解。現(xiàn)就這一知識點做如下闡述，希望對學生提高認識有所幫助。

1 關于E=△φ/△t

嚴格地說，公式E=△φ/△t不能確切地反映法拉第電磁感應定律的物理含義。教材中法拉第電磁感應定律是這樣闡述的：電路中感應電動勢的大小跟穿過這一電路的磁通量的變化率成正比。而表達式△φ/△t所表示的物理意義應為：磁通變化量與發(fā)生此變化所用時間的比值，這與磁通變化率是不能等同的，只有在△t →0時，△φ/△t的物理意義才是磁通量的變化率。由于中學階段沒有涉及微積分，故教材用E=△φ/△t來表示法拉第電磁感應定律是完全可以的。但我們必須清楚：用公式E=△φ/△t求得的感應電動勢只能是一個平均值，而不是瞬時值。這是因為△和△t都是某一時間段內的對應量而不是某一時刻的對應量，所以直接用此公式求得的E為△t時間內產生的感應電動勢的平均值。

2 關于E= BLvsinθ

公式E=BLvsinθ是由公式E=Δφ/Δt推導而來（具體推導過程祥見教材）。此公式適用于導體在勻強磁場中切割磁力線而產生感應電動勢的情況，其實質是由于導體的相對磁力線運動（切割磁力線），使回路所圍面積發(fā)生變化，使得通過回路的磁通量發(fā)生變化從而產生感應電動勢。可以認為公式E=BLvsinθ 所表示的物理意義是法拉第電磁感應定律的一種特殊情況。用此公式求得的E可為平均值也可為瞬時值：若v為某時間段內的平均速度，則求得的E為相應時間段內的平均感應電動勢；若v為某時刻的瞬時速度，則求得的E為相應時刻的瞬時感應電動勢。一般用此公式來計算瞬時感應電動勢。

下面舉一例題來進一步說明公式E=Δφ/Δt和公式E=BLvsinθ 的適用范圍。

3 例題分析

如圖1所示，兩根平行金屬導軌固定在水平桌面上，每根導軌每米的電阻為r， 導軌的端點P、Q用電阻可忽略的導線相連，兩道軌間距為L。有隨時間變化的勻強磁場垂直于桌面，已知磁感應強度B與時間t的關系為B=kt ( k為常數(shù)，且k＞0)，一電阻不計的金屬桿可在導軌上無摩擦地滑動，在滑動過程中保持與導軌垂直。在t=0時刻，金屬導軌緊靠P、Q端，在外力作用下以大小為a的恒定加速度從靜止開始向導軌的另一端滑動，求在t=T時刻回路中的感應電動勢大小。

3.1 易錯解法1：t=0時穿過回路的磁通量：φ₁=0

t=T時穿過回路的磁通量：

φ₂ =BS=kT#8226;aT²/ 2#8226;L= ka LT³/2

T時刻回路中的感應電動勢：E=Δφ/Δt=(φ₂ -φ₁) / (T-0) = ka LT²/2

錯解分析 題目要求計算t=T時刻的瞬時感應電動勢，而公式E=Δφ/Δt只能用于計算平均感應電動勢，所以上述解法所得結果為0-T時間段內回路的平均感應電動勢而不是T時刻的瞬時感應電動勢。

3.2 易錯解法2：E=BLvsinθ= kT#8226;L#8226;aT#8226;sin 90°= ka LT²

錯解分析 此解法求得結果為T時刻單由導體切割磁力線而產生的瞬時感應電動勢大小，而忽視了B也是變化的。在T時刻B是有變化趨勢（增大）的，這個變化趨勢導致回路磁通量有一個變化趨勢（增大），從而要產生一個感應電動勢。上述解法正是由于忽視了這個感應電動勢而導致錯誤。

3.3 正確解法：T時刻由于金屬桿切割磁力線而產生的感應電動勢：

E₁=BLvsinθ= kT#8226;L#8226;aT#8226;sin 90°

= ka LT²

T時刻由于B變化而產生的感應電動勢：

E₂=Δφ/Δt=S#8226;ΔB /Δt = aT²/ 2#8226;L#8226;(kT- 0) / (T- 0) = ka LT²/ 2

由楞次定律可知不管B的方向是垂直桌面向里還是向外，E1、E2方向相同。所以T時刻回路中的感應電動勢：

E=E₁+E₂ = 3ka LT²/ 2

思路分析 本題給出的裝置若B不隨t變化，當金屬桿做切割磁力線運動時則金屬桿中有感應電動勢產生；若金屬桿靜止不動，磁場隨時間變化則對金屬桿和導軌構成的回路磁通量隨時間變化，回路中也有感應電動勢產生。現(xiàn)金屬桿在隨時間變化的磁場中做切割磁力線運動，任何時刻，金屬桿都在做切割磁力線運動；任何時刻，磁場的變化都引起回路磁通量的變化。所以，兩種因素產生的感應電動勢同時存在，回路中的感應電動勢應包括這兩部分電動勢，可分別求得：對于由金屬桿做切割磁力線運動而產生的感應電動勢E₁可將T時刻的B、v值代入公式E=BLvsinθ求得；對于由B變化而產生的感應電動勢E₂是由公式E=Δφ/Δt間接求得的。這是因為本例中的B是均勻變化的，僅由均勻變化的磁場產生的感應電動勢是恒定的，所以T時刻由B均勻變化而產生的感應電動勢在數(shù)值上等同于：金屬桿靜止不動，保持回路面積為T時刻時的回路面積不變即S= aT²/ 2#8226;L，B由0均勻變化到kT過程中產生的感應電動勢的平均值。這個平均感應電動勢可由公式E=Δφ/Δt求得。

綜上所述：

（1）公式E=Δφ/Δt適用于直接計算某時間間隔內感應電動勢的平均值，也可間接用于計算由均勻變化磁場產生的感應電動勢的瞬時值。

（2）公式E=BLvsinθ一般適用于計算導體在勻強磁場中切割磁力線而產生的感應電動勢的瞬時值。