例說電磁感應中的極值問題
2007-12-31 00:00:00周鐵軍
物理教學探討 2007年11期
在與電磁感應有關的習題中，有不少是求極值問題。從所求的物理量來分類，這一問題可分為兩大類，一類是求力學量的極值，另一類是求電學量的極值。本文以例題形式說明如何求解這些極值問題。
1 電磁感應現象中求某力學量極值的問題
例1 如圖1所示，AB、CD是兩根足夠長的固定的平行金屬導軌，兩導軌間的距離為L，導軌平面與水平面的夾角為θ。在整個導軌平面內都有垂直于導軌平面斜向上方的勻強磁場，磁感應強度為B。在導軌的AC端連接一個阻值為R的電阻。一根垂直于導軌放置的金屬棒ab，質量為m，從靜止開始沿導軌下滑，求ab棒的最大速度。(ab棒與導軌間的動摩擦因數為μ，導軌、金屬棒的電阻都不計。）
析與解 金屬棒的受力如圖2所示。由受力分析可知，金屬棒做加速度減小的加速運動，當加速度為零時，速度達到最大值。速度最大時的瞬時電動勢即導體勻速運動時的電動勢，設為E，則：
例2 如圖3所示，有一水平放置的U形導體框架，內接電動勢為E0，內電阻為r的直流電源，其上水平放一根電阻為R、長度為l、質量為m的金屬棒。它的中點系一細繩，通過固定于木架CD中心的定滑輪與質量為M的重物相連接。整個空間有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度為B。重物由靜止開始向下運動，滑輪質量及一切摩擦阻力均不計。求：(1)重物開始運動時，能向下加速運動的條件。在滿足(1)題的條件下：(2)重物開始向下運動一瞬間的加速度；(3)重物運動過程中的最大速度。
析與解 (1)開始時金屬棒受到向右的繩子拉力Mg和向左的安培力F作用
例3 如圖4所示，閉合矩形線圈ABCD，在勻強磁場中繞水平軸OO′轉動時，軸OO′通過BC邊和A D邊的中點，并且跟磁感線垂直。磁感應強度為B，線圈的角速度為ω，線圈的電阻是R，A B邊和B C邊長度分別為L1和L2。
(1)設開始時線圈平面與磁感線垂直，試從導線在磁場中運動產生感應電動勢公式出發，證明在t秒末，感應電流為
(2)線圈轉動到什么位置時，磁場作用在線圈上的力矩最大?為什么?
(3)求出最大力矩。
析與解 (1)在線圈轉動過程中，AD和BC邊不切割磁感線，AB和CD邊切割磁感線，并產生兩個相同的電動勢E0，如圖5所示，所以線圈中的總電動勢為：
2 在電磁感應現象中求某電學量的極值
例4 如圖6所示，OACO為置于水平面內的光滑閉合金屬導軌，O、C處分別接有短電阻絲（圖中用粗線表示），R1=4Ω，R2=8Ω（導軌其它部分電阻不計）。導軌OAC的形狀滿足方程y=2sin(πx/3)(單位：m)。磁感應強度B=0．2T的勻強磁場方向垂直于導軌平面，一足夠長的金屬棒在水平外力的作用下以恒定的速度v=5．0m／s水平向右在導軌上從O點滑動到C點，棒與導軌接觸良好且始終保持與O C導軌垂直，不計棒的電阻。求：
(1)外力F的最大值；
(2)金屬棒在導軌上運動時的電阻絲R1上消耗的最大功率；
析與解 （1）由公式E=BLv可知L最大時，感應電動勢E最大。
例5 在圖7中，da、cb為相距l的平行導軌(電阻很小，可以忽略)，a、b間接有一個固定電阻，阻值為R，K直細桿MN可以按任意角θ架在平行導軌上，并以勻速v滑動(平移)，v的方向與da平行，桿MN有電阻，每米長的電阻值為R，整個空間充滿磁感應強度為B的勻強磁場，方向如圖7所示。求：
(1)固定電阻R上消耗功率最大時角θ的值；
(2)求在桿MN上消耗的電功率最大時角θ的值。
例6 如圖8所示，均勻導線制成的金屬圓環，垂直磁場方向放在磁感應強度B=1T的勻強磁場中，圓環總電阻為0．4Ω。另有一直導線OP長0．1m，其電阻為0．1Ω，一端處于圓環圓心，另一端與圓環相接，金屬轉柄OQ的電阻為0．1Ω，它以10r·s-1的轉速沿圓環轉動。求O P中電流強度的最小值是多少?方向如何?
(欄目編輯陳 潔)
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