巧解“電容器極板上電荷分布”問題

求解電容器極板上電荷的分布問題，是電學(xué)中的一個難點，解答這類問題需要綜合電荷守恒定律、靜電平衡條件及處于靜電平衡導(dǎo)體的性質(zhì)、電場線的性質(zhì)等知識。練習(xí)、解答這類問題有助于提高形象、抽象思維能力和綜合分析能力，從而逐漸形成創(chuàng)新意識，發(fā)展創(chuàng)新能力。

本人以為解答這類問題，關(guān)鍵要抓住“處于靜電平衡的金屬板內(nèi)電場強度為零”這一點，再綜合運用電場的有關(guān)知識即可順利解答。由于兩相互平行的，靠得很近的金屬板所組成的平行板電容器，當(dāng)極板帶電時內(nèi)部的電場為勻強電場。平行板電容器的電容為

由于其內(nèi)部電場是兩塊極板上電荷所產(chǎn)生的電場的疊加，正、負(fù)極板所帶的電量相等，因而在電容器內(nèi)部，正、負(fù)極板所產(chǎn)生的電場相互加強；電容器外部，正、負(fù)極板所產(chǎn)生的電場抵消。無限大平行金屬板所產(chǎn)生的電場是垂直于極板的勻強電場，場強為E₀=2πkσ，方向垂直于極板向兩側(cè)無限伸展，如圖1所示。因此無限大帶電金屬板在其附近所產(chǎn)生的勻強電場的電場強度正比于極板表面上分布的面電荷密度。對于孤立的帶電金屬板，由于其兩側(cè)表面上電荷在金屬板內(nèi)部所產(chǎn)生的電場大小相等、方向相反，從而相互抵消，如圖2所示。

綜上所述，求解平行金屬板的帶電問題時，根據(jù)帶電金屬板所產(chǎn)生的電場的性質(zhì)，靜電平衡性質(zhì)及電荷守恒定律，可以得出金屬板中心線兩側(cè)所帶電荷的電量相等。下面舉幾例加以說明。

例1 兩塊相互平行的金屬板A和B，分別帶電量＋Q和－Q／2，完全正對地相互靠近，兩板間距離為1mm，求金屬板A、B上電荷的分布情況？

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分析與解 設(shè)金屬板A的左右兩側(cè)所帶的電量分別為+x和Q-x，由于靜電感應(yīng)，B板左側(cè)所帶的電量必為-（Q-x），則由電荷守恒定律可得，B板的右側(cè)所帶的電量為Q/2-x。由于金屬板B中央的電場強度為零，即A、B兩板左右兩側(cè)電荷各自產(chǎn)生的電場在B板中央疊加后為零。再由電容器內(nèi)部場強公式

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例2 有平行金屬板B、C組成的電容器，電容為C，帶電量為2Q，B板帶正電，C板接地。今將另一塊與B、C完全一樣的，帶電量為＋Q的金屬板A，從無窮遠(yuǎn)移近B，使A、B間距離恰好是B、C間距離的一半，且完全正對。今將在A板附近的質(zhì)子釋放，如圖5所示，已知質(zhì)子電量為e，質(zhì)量為m，則質(zhì)子穿過B板最后撞擊C板的速度為多少？

分析與解 設(shè)金屬板A左側(cè)所帶的電量為x，由電荷守恒定律可知A板的右側(cè)為Q-x，根據(jù)靜電感應(yīng)，B板的左側(cè)所帶的電量必為-（Q-x），如前分析，同理有B板的右側(cè)為3Q-x，同樣由靜電感應(yīng)可得，C板的左側(cè)所帶的電量為-（3Q-x），因為C板接地，其右側(cè)必不帶電，這是因為假如右側(cè)帶正電的話，就有從C指向無窮遠(yuǎn)的電場線，沿電場線方向電勢是降低的，則C比無窮遠(yuǎn)處的電勢要高，而無窮遠(yuǎn)的電勢為零，則C板的電勢為正，現(xiàn)C板接地，電勢為零，相互矛盾，故有C的右側(cè)不可能帶正電；同樣，假如C板帶負(fù)電，則C板和無窮遠(yuǎn)之間就有從無窮遠(yuǎn)指向C板的電場線，使C板的電勢比無窮遠(yuǎn)要低，為負(fù)電勢，但C板接地為零電勢，因而也相互矛盾，故而C板右側(cè)帶負(fù)電也是不可能的。綜合上述兩種情況，C板右側(cè)不帶電。由于C板中央的場強為零，即A、B、C三板各側(cè)電荷產(chǎn)生的電場在C板中央疊加后所得總場強為零。同前例中所述，由電容器內(nèi)部場強公式

例3 一平行板電容器，極板面積可視為無窮大，將其兩極板接地，今在兩極板間Ｐ點放置一點電荷，其電量為＋Q，它到兩極板間的距離分別為a和b，如圖6所示。求放入此電荷后，電容器兩極板上所帶的電量？

分析和解 設(shè)Ｑ放于Ｐ點時，左右極板上的感應(yīng)電荷分別為q₁、q₂，若把電荷向上沿平行于極板方向移到另一位置Ｐ′時，由于電荷Ｑ離無窮大的左右極板的距離不變，極板上的感應(yīng)電荷仍是q₁、q₂，若把點電荷Ｑ一分為二，分別置于過P點且與極板平行的平面上的兩點上時，由于它們與兩極板的相對位置與原來一樣，故兩極板上的感應(yīng)電荷與原來一樣；若把Q等分為無窮多的小電荷，把它們均勻地置于過P的與兩極板平行的平面上時，即相當(dāng)于把電量為Q的電荷分布于與左右極板距離為a、b的金屬板上，這時兩極板上的感應(yīng)電荷的電量仍q₁、q₂。這時該金屬板與左右兩金屬板組成了兩個平行板電容器，兩個電容器所帶的電量分別為q₁、q₂，如圖7所示，q₁、q₂即為題設(shè)所求。

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現(xiàn)設(shè)這兩個電容器的電容分別為C₁、C₂。由于左右金屬板接地，因而兩電容器相互并聯(lián)，電壓相等，

討論 與左右兩金屬板相距為a和b的P點置一點電荷Q，在金屬板上的感應(yīng)電荷的多少，與三塊平行金屬板，左右兩塊金屬板接地，中間一塊金屬板帶電量為Q時，左右兩塊金屬板上的感應(yīng)電荷多少相等。這雖然是兩種不同的情景，其內(nèi)部的電場完全不同，但金屬板上所感應(yīng)出來的電量卻是相等的，本題的解答正是抓住了感應(yīng)電量相等這一唯一的等量關(guān)系，使本題的解法化繁為簡。

（欄目編輯羅琬華）

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