經(jīng)典混沌入門

摘要：物理規(guī)律乃至其它一些自然現(xiàn)象或社會現(xiàn)象一般來講都很復雜，它們的動力學規(guī)律往往都需用非線性方程表示，正是如此，很多大學都成立了非線性研究中心或研究所。非線性理論主要包括三個重要的方面：混沌、分形和孤立子。經(jīng)過幾十年的研究，混沌的研究領(lǐng)域已包括很多分支：耗散系統(tǒng)中的混沌，保守系統(tǒng)的混沌、時空混沌、量子混沌、混沌同步、混沌控制等等。本文主要以三體問題、天氣預(yù)報問題、生態(tài)演化問題來介紹混沌理論的提出以及混沌的一些特征，并以三體引力問題為例較為詳細地講述低維經(jīng)典系統(tǒng)中混沌的一些特征。

關(guān)鍵詞：三體問題；混沌；邏輯斯蒂映像； 洛倫茲方程

中圖分類號：G633.7

文獻標識碼：A

文章編號：1003-6148(2007)4(S)-0001-3

1 引言

物理學中，混沌一詞有著專門的含義，不同于我們?nèi)粘Ｉ钪械摹盎煦纭庇谜Z。對于物理學家來講，混沌運動并不意味著這個系統(tǒng)變化多么“劇烈”，一個混沌系統(tǒng)可以按著某種光滑與有序的方式演化。混沌涉及到一個確定系統(tǒng)是否能長期預(yù)測的問題。很久以來，人們都相信物理規(guī)律反應(yīng)了自然界中的因果關(guān)系，總是設(shè)想只要知道初始條件就可以做長期精確的預(yù)測。大約在100 年前，自然界中混沌系統(tǒng)的發(fā)現(xiàn)好象破壞了這種觀點。物質(zhì)世界的確定性可以追溯到幾千年前的古希臘，大約在公元1500 年左右，因果律完全支配物質(zhì)世界所有運動與結(jié)構(gòu)，這種確定性開始進入現(xiàn)代科學。現(xiàn)代科學中確定性的一位關(guān)鍵性人物是牛頓，他發(fā)現(xiàn)了一系列簡明的原理、定律。他向我們顯示了在眾多系統(tǒng)中能夠在一個很高的精度內(nèi)預(yù)測物體的運動，例如可以精確地預(yù)測行星繞太陽的運動軌道、地球上射彈路徑的形狀以及海洋潮汐的時間表等。現(xiàn)代科學重要的一點就是可以通過把物理屬性表示為量化測量來理解物質(zhì)世界的規(guī)律，也就是說用數(shù)值術(shù)語，而不是僅僅用語言描述，這樣物理規(guī)律最終可以用數(shù)學方程來描述，而不單是用語言描述。另一方面，實驗科學的一個基本事實就是實際測量不可能無限精確，而是必然包含著不確定。可以這樣來理解，為了無限小精度的記錄一個測量，設(shè)備需要有一個顯示無限數(shù)字的輸出能力。用更精確的測量儀器，測量的不確定可以達到我們希望那樣小，但是永遠不可能完全將其消除，所以初始條件不可能完全精確的描述。在牛頓規(guī)律描述的運動中，一個系統(tǒng)初始條件的不精確會產(chǎn)生以后任意時刻預(yù)測的不精確，不過，通常認為由于初始條件不精確性而導致的最終動力學預(yù)測的不精確會減小，越來越接近真實結(jié)果。在二十世紀，這種觀念受到了挑戰(zhàn)，人們發(fā)現(xiàn)對于某些系統(tǒng)、對于某些反應(yīng)物理規(guī)律的數(shù)學方程，相差很小的初始值會導致以后非常大的偏差。正是因為如此，有些人認為“混沌”的出現(xiàn)是繼相對論、量子力學后的第三次革命。幾十年來，人們對混沌理論的研究不斷深入，已包含耗散系統(tǒng)中的混沌，保守系統(tǒng)的混沌、時空混沌、量子混沌、混沌同步、混沌控制等眾多分支^[1-5]。在本文中，主要以三體問題、天氣預(yù)報問題、生態(tài)演化問題來介紹混沌理論的提出及其特征，并以三體引力問題為例較為詳細地講述低維經(jīng)典系統(tǒng)中混沌的一些特征。

2 經(jīng)典混沌的提出及其特征

混沌學的出現(xiàn)，是現(xiàn)代科學和現(xiàn)代技術(shù)、特別是計算機技術(shù)相結(jié)合的產(chǎn)物。應(yīng)該說從天文地理到數(shù)理化生，從宇宙到基本粒子，它是無處不在的。對混沌的探討可以追溯到19 世紀末龐加萊關(guān)于“三體問題”的討論，它是確定論的試金石。根據(jù)牛頓力學，我們知道一體問題很簡單（一個物體在固定的中心力場中運動）；兩體物體也不復雜（兩個相互吸引的物體的運動問題，結(jié)果是兩個物體都繞質(zhì)心運動，大質(zhì)量物理的軌道小一些，小質(zhì)量的軌道大一些）；三體問題（三個物體之間存在著吸引力）則遠比人們想象的復雜得多。對于三體問題，若其中一個物體的影響很小，可以用微擾理論來近似處理，但對于大多數(shù)情況，微擾條件是不成立的。許多數(shù)學家致力于尋找三體乃至多體問題的解，“三體問題”成為天體力學中一個非常引人注目的問題。為此，1889 年挪威國王曾設(shè)立一筆獎金和一枚金牌。龐加萊是十九世紀杰出的數(shù)學家，他試圖求解三體問題，極具諷刺意味的是龐加萊因一篇關(guān)于三體問題無法求解的論文獲得了此獎勵。一體、二體問題的牛頓方程有完美“封閉形式”的解，它們是“可積的”；而三體方程則沒有解析解，是“不可積的”，只能借助數(shù)值近似的方法。龐加萊發(fā)現(xiàn)一個厭煩的事實：當三體從差別非常小的初始位置開始運動時，它們的軌跡將描述出極為不同的路徑。他寫到“初始位置的差別能夠?qū)е伦罱K現(xiàn)象中巨大的差異，預(yù)測變得不可能”，它是混沌系統(tǒng)的主要特征之一。“三體問題”是保守系統(tǒng)混沌的一個典型例子。

盡管一些有先見的物理學家已認識到了龐加萊發(fā)現(xiàn)的重要性，但由于當時大多數(shù)物理學家正在致力于量子力學的研究，所以“混沌”現(xiàn)象在幾十年內(nèi)未被整個科學界所重視。但是，美國麻省理工學院的洛倫茲（E.N.Lorenz）教授于1963 年在《大氣科學》雜志上發(fā)表的“決定性的非周期流”一文，則掀起了混沌研究的熱潮。20 世紀60 年代，計算機的發(fā)展為天氣預(yù)報的研究提供了可能。現(xiàn)代科學極為重要的一點是將物理規(guī)律用數(shù)學方程（包括常微分方程、偏微分方程等）表示出來， 氣象學家洛倫茲發(fā)展了一組方程來模擬天氣系統(tǒng)，這組方程可以描述上層大氣中的湍流。由于方程組的個數(shù)很多，洛倫茲對這組方程作了進一步化簡，最終得到三個變量的一組常微分方程。對這組常微分方程組的數(shù)值計算告訴我們初始條件極小的差別會導致結(jié)果巨大的差異。洛倫茲將這種“對初始條件的敏感性”稱為“蝴蝶效應(yīng)”，即“北京的蝴蝶拍了一下翅膀足可以引起下個月紐約的一場大風暴”。洛倫茲的氣象模型是耗散系統(tǒng)混沌的一個典型例子。對此模型進一步研究，不難發(fā)現(xiàn)混沌的其它特征，比如“混沌耗散系統(tǒng)具有奇怪吸引子（我們稱去掉開始一段的暫態(tài)過程后系統(tǒng)在相空間中所趨向的有限區(qū)域為吸引子），通常的吸引子一般為不動點（維數(shù)為零，比如做阻尼振蕩的單擺最終要收斂于靜止點），封閉曲線（維數(shù)為1），二維或三維環(huán)面等，其維數(shù)都是整數(shù)。但奇怪吸引子則收斂于有限區(qū)域內(nèi)一條永不重復的線”，“自相似結(jié)構(gòu)、分維”等。

從已有研究可知，對一個非線性常微分方程組描述的確定系統(tǒng)而言，三個變量或三個以上變量才可能出現(xiàn)混沌。但對于分立的系統(tǒng)，一個連初中生、高中生看起來都很簡單的系統(tǒng)也會展現(xiàn)出極為復雜的動力學——混沌。下面是描述物種這一代與下一代數(shù)目關(guān)系的一個極為簡單的迭代式：

x_n-1=μx_n(1-x_n)

x_n-1和x_n分別表示第n+1代和第n 代的物種數(shù)目，眾多的影響因素都體現(xiàn)在參數(shù)μ中， 這是一個極為簡單的拋物型迭代方程，被稱為邏輯斯蒂（Logistic）方程。這個簡單模型描述了一個確定的規(guī)律，如果我們知道第一代的物種數(shù)目，將其代入方程的右邊，可以得到第二代的物種數(shù)目，再把第二代的物種數(shù)目代入方程的右邊，可以得到第三代的物種數(shù)目，依此類推可以得到以后任何一代的物種數(shù)目。這個模型最早是由美國生物學家羅伯特·梅在20 世紀70 年代給出的，梅起先是澳洲較有名氣的理論物理學家，后來他來到美國普林斯頓從事生態(tài)的研究，正是因為邏輯斯蒂方程的研究使他變得更為出名。可以發(fā)現(xiàn)當參數(shù)從小到大變化時方程動力性態(tài)愈來愈復雜的現(xiàn)象，對此的研究可以發(fā)現(xiàn)通向混沌的道路——“倍周期分岔通向混沌”、“切分岔進入混沌”等。另一位富有傳奇的人物是美國物理學家費鮑堡姆，他在20 世紀70 年代作了許多關(guān)于邏輯斯蒂方程的工作，他研究倍周期分岔序列，發(fā)現(xiàn)倍周期分岔被兩個無理比率常數(shù)（收斂速度與標度因子）支配著。我們稱這兩個無理數(shù)為“費根鮑姆數(shù)”。當人們處理圓問題時，總是要涉及到無理數(shù)π（它的數(shù)值近似為3.1415926…），好象這個無理數(shù)和圓系統(tǒng)固連在一起，那么混沌系統(tǒng)是和費根鮑姆數(shù)固連在一起的。

混沌系統(tǒng)是一個確定系統(tǒng)，它由可確定的方程來描述，卻呈現(xiàn)出貌似隨機的行為。下面以一個簡單的三體問題——“兩個固定的太陽與一個運動地球” （圖1（b））為例較詳細的理解一下混沌的一些特征。這個系統(tǒng)可以利用計算機得到其近似解，該思路如下：

（1） 設(shè)想知道某一時刻地球的位置與速度，利用牛頓定律計算其加速度。

（2） 接下來，用數(shù)值近似計算一個非常小“時間步”后地球新的位置與速度，再利用牛頓定律計算新的加速度。

（3） 然后以（2）中的新位置、新速度以及新加速度為基礎(chǔ)計算第二個“時間步”后的位置與速度。如此迭代下去，可以得到各個分立時刻的位置與速度，再將其繪制成圖。如果“時間步”非常短，位置與速度接近連續(xù)，其圖為近光滑的曲線。因此，只要將“時間步”取得足夠的小，我們可以認為數(shù)值近似解就是真實解。

圖1 二體問題與三體問題的運動軌道。（a）二體問題，地球繞太陽轉(zhuǎn)的軌道；（b）三體問題，兩個固定太陽和一個運動地球；（c）三體問題中地球的運動軌道。

圖1（c）給出了三體問題從初始開始一段時間內(nèi)地球的運動軌道。在計算中假設(shè)太陽是一個點粒子，地球從不與它們相撞。圖中地球的初始位置為兩太陽中點略偏右下，初始速度方向為向上偏右。可以看到，三體問題地球的運動軌道不可能用解析表達式來描述。即使時間無窮長，地球的軌道也永不重復，而地球運動的區(qū)域范圍是一定的。這使得一個新的思想誕生，在一個有限的體積內(nèi)經(jīng)過無窮長時間后軌道是一個無窮長的線，為此引入了分數(shù)維。這個簡單的引力系統(tǒng)是混沌最早的一個例子。接下來，我們考慮地球初始條件有微小差別的情況，讓其初始位置與垂直速度相同，初始水平速度有百分之一的差別。

圖2兩個初始條件有微小差別的三體問題，它們的初始位置與垂直速度相同（圖中箭頭所示），初始水平速度有百分之一的差別。（a） 初試水平速度為0.005；（b）初始水平速度為0.00505。

圖2 給出了一段時間內(nèi)的數(shù)值解。從圖中可知，起初正象非混沌系統(tǒng)所期待的那樣兩軌道幾乎相同，隨著時間增長，兩軌道會突然分離。系統(tǒng)這種初始條件小的差異導致以后狀態(tài)極大差別的現(xiàn)象被稱為“對初始條件的敏感性”。它是所有混沌系統(tǒng)的一個主要特征，也稱為“蝴蝶效應(yīng)”。很多科技工作者把“初值敏感性”作為混沌的主要暗示。

考慮向地板上投沙粒形成沙堆，沙堆的高度隨著沙子數(shù)的增加而光滑的增長，我們稱系統(tǒng)是“線性”的。Jim Drummond 以這樣方式描述一線性系統(tǒng)：“如果我踢它，它尖叫。如果我使勁踢它，它的叫聲更大”。但是當沙灘達到一定的高度以后，再多加一粒沙子，雪崩就會發(fā)生，沙灘的高度減小。這里輸入（沙子數(shù)）的一個微小改變（多加一粒沙子），輸出（沙灘高度）就會發(fā)生巨大的改變，系統(tǒng)展現(xiàn)了初值敏感性，系統(tǒng)是非線性的，輸出不正比于輸入。

對于混沌，我們說：所有的混沌系統(tǒng)都具有初值敏感性；所有混沌系統(tǒng)的軌道不重復自己；所有的混沌系統(tǒng)都是非線性的。

3 分析與討論

混沌是自然界中普遍存在的現(xiàn)象，廣泛的存在于各個學科。一些看似簡單的系統(tǒng)很可能蘊藏著豐富的動力學行為，除上述幾個最初混沌例子外，又如懸掛點上下振蕩的單擺、有兩個擺臂的單擺、運動場臺球（將長方形的兩相對邊用半圓來代替）等等。通過幾十年的努力，人們對混沌開始有比較清晰的了解，包括混沌的一些特性、通往混沌的道路、刻化混沌出現(xiàn)的物理量等，發(fā)展了非線性動力學理論，為處理復雜問題奠定了理論基礎(chǔ)。混沌既有有害的一面，又有有利的一面，為此在90 年代開始了混沌控制與同步的研究。人們也把低維系統(tǒng)的混沌研究推廣到更高維，對時空混沌研究普遍認為是研究百年難題湍流的重要途徑之一。另一方面，根據(jù)玻耳對應(yīng)原理，量子力學結(jié)果在極限條件下和經(jīng)典結(jié)果是一致的，經(jīng)典混沌系統(tǒng)在量子上有什么表現(xiàn)，成為量子混沌的研究內(nèi)容。

參考文獻：

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[2]陳式剛.映像與混沌.國防工業(yè)出版社，1992

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[5]王光瑞，于熙齡，陳式剛.混沌的控制、同步與利用.國防工業(yè)出版社，2001

(欄目編輯 廖伯琴)