動(dòng)態(tài)立體幾何問(wèn)題分類探析

本文所指的“動(dòng)態(tài)”立體幾何題，是指立體幾何題中除了固定不變的的線線#65380;線面#65380;面面關(guān)系外，所滲透的一些“動(dòng)態(tài)”的點(diǎn)#65380;線#65380;面元素，給靜態(tài)的立體幾何題賦予了活力，題意更新穎. 同時(shí)，由于“動(dòng)態(tài)”的存在，也使立體幾何題更趨靈活，加強(qiáng)了對(duì)學(xué)生空間想象能力的考查.

一#65380;截面問(wèn)題

截面問(wèn)題是立體幾何題中的一類比較常見的題型，由于截面的“動(dòng)態(tài)”性，使截得的結(jié)果也具有一定的可變性.

例1已知正三棱柱A1B1C1 - ABC 的底面積為S，高為h，過(guò) C 點(diǎn)作三棱柱與底面ABC成 α 角的截面△MNC(0 < α <)，使 MN∥AB，求截面的面積.

分析由于截面位置的不同，它與幾何體的交線 MN 可能在側(cè)面A1B 上，也可能在上底面A1B1C1上，由此得到兩種不同的結(jié)果.

解當(dāng)交線 MN 在側(cè)面A1B 內(nèi)(或與A1B1重合時(shí))，S△MNC = ;

當(dāng) MN 在底面A1B1C1內(nèi)時(shí)，arctan< α < ，∴S△MNC = .

二#65380;翻折#65380;展開問(wèn)題

圖形的翻折和展開必然會(huì)引起部分元素位置關(guān)系的變化，求解這類問(wèn)題要注意對(duì)變化前后線線#65380;線面位置關(guān)系，所成角及距離等加以比較.一般來(lái)說(shuō)，位于棱的兩側(cè)的同一半平面內(nèi)的元素其相對(duì)位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系在翻折前后不發(fā)生變化，分別位于兩個(gè)半平面內(nèi)的元素其相對(duì)關(guān)系和數(shù)量關(guān)系則發(fā)生變化.不變量可結(jié)合原圖型求解，變化了的量應(yīng)在折后立體圖形中來(lái)求證.

例2從三棱錐 P - ABC 的頂點(diǎn)沿著三條側(cè)棱PA，PB，PC 剪開成平面圖形，得到△P1P2P3，且P1P2 = P2P3 .

(1) 在棱錐 P - ABC 中，求證:PA ⊥ BC ;

(2) P1P2 = 26，P1P3 = 20，求三棱錐的體積.

分析(1)由展開的過(guò)程可知，A，B，C 分別是邊P1P3，P1P2，P2P3的中點(diǎn)，故 AB = P2P3， AC = P1P2 .

三#65380;最值問(wèn)題

立體幾何題中經(jīng)常會(huì)涉及角度#65380;距離#65380;面積#65380;體積最大值#65380;最小值的計(jì)算，很多情況下，我們可以把這類動(dòng)態(tài)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最值.

例3如圖，正方形 ABCD和正方形ABEF 的邊長(zhǎng)都是1，而且平面 ABCD和平面ABEF 互相垂直，點(diǎn) M 在 AC 上移動(dòng)，點(diǎn) N 在 BF 上移動(dòng).若 CM = BN = a，(0 < a < ).

(1) 求 MN 的長(zhǎng).

(2) 當(dāng) a 為何值時(shí)，MN 的長(zhǎng)取最小值.

分析(1) MN 的長(zhǎng)隨著點(diǎn) M，N 的移動(dòng)而變化，若能建立適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系，轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題，便可利用函數(shù)知識(shí)求解.

略解 (1) 過(guò)點(diǎn) M 作 MO⊥ AB 交 AB 于 O，連 ON，由題可得

四#65380;探索型問(wèn)題

由于立體幾何題中“動(dòng)態(tài)”性的存在，使有些問(wèn)題的結(jié)果變得不可確定，探索型問(wèn)題正好通過(guò)這種“動(dòng)態(tài)性”和不確定性考查學(xué)生的發(fā)散性思維.

五#65380;其他類型

利用三垂線定理#65380;射影定理#65380;線線#65380;線面垂直的性質(zhì)等在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中提煉一些不變的#65380;“靜態(tài)”的量，從而達(dá)到解題的目的.

例5在三棱柱ABC - A1B1C1中，AA1 = AB = AC，AB ⊥ AC，M 是CC1的中點(diǎn)，Q 是 BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) P在A1B1上，則直線 PQ 與直線 AM 所成的角等于 ( ).

分析雖然點(diǎn) P 的具體位置不定，但 PQ 在平面A1C上的射影是一條定直線A1H，在正方形ACC1A1中，AM⊥A1H，故由三垂線定理得BQ ⊥ AM.

例6正方體ABCD - A1B1C1D1中，點(diǎn) P 在側(cè)面BCC1B1及其邊界運(yùn)動(dòng)，并且總保持 AP⊥BD1，則動(dòng)點(diǎn)P 的軌跡是 .

分析點(diǎn) P 是在正方體的右側(cè)面這樣的一個(gè)區(qū)域中運(yùn)動(dòng)，這使兩條線段BD1與 AP 的位置關(guān)系比較復(fù)雜，但BD1是正方體的體對(duì)角線，它在各個(gè)側(cè)面上的射影與這個(gè)側(cè)面的另一條對(duì)角線互相垂直，故由三垂線定理可證得BD1 ⊥ 平面AB1C，因此當(dāng)點(diǎn) P 在線段B1C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，由線面垂直的性質(zhì)得BD1 ⊥ AP 恒成立，即線段 P 的軌跡是線段B1C.

注:“本文中所涉及到的圖表#65380;注解#65380;公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文#65377;”