初等數(shù)學(xué)中方程、不等式、函數(shù)的關(guān)系

初等數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)入門課，是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維，養(yǎng)成良好數(shù)學(xué)行為的關(guān)鍵時(shí)期，是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要時(shí)刻。理清數(shù)學(xué)中的脈絡(luò)，尋其根本，至關(guān)重要。現(xiàn)以初等數(shù)學(xué)中的方程、不等式及函數(shù)間的關(guān)系為例進(jìn)行說明。

實(shí)例：解方程5X+6=0知X=-6/5

拓展：解不等式5X+6≠0，析為5X+6＞0或5X+6＜0，得解集X＞-6/5 或X＜-6/5。

延伸：5X+6=Y (即Y=5X+6)的分析(討論)(方程不定式)

經(jīng)討論：只要給定x一個(gè)定值，則y有一定值與之對(duì)應(yīng)，即對(duì)于任意給定x的值y都有唯一定值，x、y間是一一對(duì)應(yīng)的。這就是函數(shù)的關(guān)系，也就是說y隨x的改變而改變，不妨稱x為自變量。

觀看：可畫出相關(guān)圖像。方程的解將是圖上的定點(diǎn)，不等式的解集是射線；函數(shù)(方程不定式)是一直線。

擴(kuò)充：若將上式中的常數(shù)5換成常量a呢？即有ax+6=0，ax+6≠0，ax+6=y?

仿上推：1.ax+6=0，有a=0時(shí)無(wú)意義，a≠0 x=-6/a。

2. ax+6≠0化為ax+6＞0 或ax+6＜0，解集a＞0，x＞-6/a或x＜-6/a，a<0時(shí)x＜-6/ a或x＞-6/ a。

3. ax+6=y，設(shè)若a=0則y=6(圖像是平行于x軸或垂直于y軸的一直線)；a＞0時(shí)，圖像在一、二、三象限，看出y隨x的增大而大，a＜0時(shí)，圖像在二、三、四象限，知y隨x的增大而減小。

探究：現(xiàn)在綜合它們之間的關(guān)系(觀看相關(guān)圖像)。⑴方程、不等式是函數(shù)的一部分，函數(shù)是整體的一般式。⑵圖像上，方程的解是圖像上的界點(diǎn)，不等式是射線，函數(shù)是直線，它們之間是包含關(guān)系。⑶方程、不等式、函數(shù)是點(diǎn)、線的具體數(shù)學(xué)表達(dá)式，圖像又將抽象化為形象。

結(jié)論：方程、不等式、函數(shù)之間是特殊到一般的關(guān)系，特殊最簡(jiǎn)單，由簡(jiǎn)單到復(fù)雜，到普遍規(guī)律，這正是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué)的最重要的方法，即不等式解集通過圖像而推出，而圖像中的定值(特殊值)就是方程的解。

推廣：若將一元一次方程換為一元二次呢？例如，x²＋3x+2=0，x²＋3x+2≠0，x²＋3x+2=y ，能否討論呢？下一節(jié)研究。

思考：試討論，ax²+b=0，ax²+b≠0，ax²+b=y。