非線性Ｃｏｍｐｅｒｔｚｌａｎ灰色模型的解法及其應用

[摘要] 本文在現有文獻的基礎上，應用GM(1，1)模型給出一種新的非線性灰色模型——Gompertzlan模型及其解法。最后將該方法用于某公司的實際銷售額預測中，通過例子可以看出，這種新的方法具有很高的精度。

[關鍵詞] 銷售額Gompertz曲線非線性灰色模型預測精度

一、引言

龔帕茲曲線是由英國統計學家和數學家B.Gompertz首先提出的一種數學模型。它是一條S形生長曲線，它反映了某些經濟變量由開始增長緩慢，隨后增長加快，到達一定程度后，增長率再逐漸減慢，最終達到飽和狀態的過程。經濟學家發現，大型項目的資金投入以及耐用消費品的市場發育等過程都與生長曲線類似。其數學表達式為:

式中k，a，b為待定參數，且0＜a＜1，0＜b＜1;t為時間。當t→∞時，bt→0，y→k，k為龔帕茲曲線的極限值。本文給出一種新的非線性灰色模型——Gompertzlan模型及其解法，最后將該方法用于某公司的實際銷售額預測中，通過例子可以看出，這種新方法比龔帕茲曲線具有更高的預測精度。

二、非線性灰色模型及其解法

由實際的例子可以看出盡管原始數據呈指數變化(由散點圖可知)，但是應用傳統預測模型的誤差是相對大的。這是因為，雖然原始數據列呈指數變化，但不是光滑離散函數，所以對于非光滑離散函數建立灰色模型之前，必須對原始數據列進行某種變換，以此來提高數據的光滑程度。所以說灰色預測模型的預測精度主要取決于原始數據列的光滑離散性。因此，拓寬灰色預測的應用范圍，提高預測精度的關鍵在于增加數據列的光滑性。文獻做了有益的嘗試，收到了較好的效果。

定理:若{x(k)}為遞增數列，且x(1)≥e，則

基于這個定理，有以下的結論:

式為GM(1，1)模型，α和β為待定參數，其解為y(t+1)=α/β+(y)(0)-α/βe-βt。

令則(2)式轉化為:

稱上式為Gompertzlan灰色模型。

由(2)式的解可知(3)式的解為:

對于(3)式有如下的解法:

①設原始數列為:

②累加生成數列構成矩陣B:

其中z(j)，y(j)為灰色模型的背景值，j=2，3…n，具體取法為:

其中α∈(0，1)。令原始數列構成數據列矩陣:Yn=(x(0)(2)，x(0)(3)，…，x(0）(n))T。

③利用最小二乘法求得參數α和β:

④將參數α和β代入(4)式，即得(3)式的時間響應函數。

注:由(2)式可知，求解Compertzlan灰色模型中的參數還可以像求解GM(1，1)模型的參數那樣，得到時間響應函數為：

三、應用實例及其預測精度比較

某公司1996到2003年實際銷售額資料如表1所示。

根據表1中的數據，利用上述的參數求解法，得到預測模型為:

p(t+1)=exp(84.2648e0.02339t-82.4387) (8)

按(8)式進行預測，得到的預測結果及誤差見表2。

根據表1中的數據，按文獻中的參數

估計方法，得擬合模型為：

p(t+1)=10.7275×0.48520.7782t按(9)式進行預測，得到的預測結果及誤差見表3。

由表2、表3可以看出，本文提出的Gompertzlan模型在公司銷售額預測中，比Gompertz曲線預測法具有更高的精度。

四、結束語

銷售額預測是上市公司正常運行和發展公司規模中一項非常重要的工作，隨著市場的發展，必將對產品銷售情況提出更高的要求。本文提出了一種新的非線性Gompertzlan模型，對某公司的銷售額逐年進行預測。預測結果表明，這種方法比Gompertz曲線預測法具有更高的預測精度。這一預測精度完全能夠滿足生產和管理部門的需要，是理想的預測方法。

參考文獻:

[1]陳濤捷:灰色預測模型的一種拓廣[J].系統工程，1990，8(7)

[2]孫文生楊氵內華:經濟預測方法[M].中國農業大學出版社，2005

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。