從數學模型的構造看經濟理論先行原則的應用

[摘要] 構造數學模型并非只是簡單的數學推理過程，而是一種經濟分析活動。就其最終目標來看，旨在借助數學工具解釋經濟理論，表述經濟規律。本文通過生產函數與成本函數的構造，闡述了經濟理論先行原則的具體運用，展現了避免經濟分析隨意化的具體方法。

[關鍵詞] 西方經濟學數學模型生產函數成本函數

一、生產函數的構造

在生產理論中，要研究總產量、平均產量、邊際產量隨著勞動投入的變化而增減的規律。總產量是先增后減，在增加階段，先以遞增的速率增加，達到一定程度后，再以遞減的速率增加；在減少階段，則是以遞增的速率減少。這一過程體現了邊際報酬遞減規律的作用。這一規律，無論是從歷史還是現實的角度看都有科學意義，在此規律作用下，在技術水平不變的情況下，，當不變生產要素已經充分利用時，繼續追加可變要素，不僅生產效率不會提高，反而降低，最終表現為總產量的減少。就平均產量與邊際產量的關系而言，當邊際產量大于平均產量時，平均產量上升，當邊際產量小于平均產量時，平均產量下降，當邊際產量等于平均產量時，平均產量達到最大值。即平均產量線與邊際產量線相交于平均產量線的最高點。這些理論，是依據大量生產活動實踐總結出來的，較好地解釋了經濟活動規律。為了形象直觀、精煉準確的表述這些內容，我構造了一個非初等函數:

當0

當時，由于在[10，20+]上連續，在（10，20+)內可導，且由此得到：

進而得到：

用這一模型可以反映總產量、平均產量、邊際產量的變化規律。當10

再進一步求出APL，令APL=APL，解出L=，在該點，平均產量達到最大。至此，就完整地表達了總產量、平均產量、邊際產量之間的關系。

在這一模型的構造中，根據總產量先升后降的特征，可以構造一條開口向下的拋物線，這條拋物線在其上升階段，其切線斜率是遞減的，即生產函數的導數是遞減的，這反映出總產量增加的速率是遞減的。但根據經濟理論，總產量在增加階段，其增加的速率是先遞增，后遞減，因此，要有一段其切線斜率是遞增的曲線。容易想到，上凹的拋物線其上升部分切線斜率是遞增的，即相應函數的導數是遞增的。將這兩條凹向不同的拋物線連接，就能模擬產量的變化規律，較好的發揮數學模型對于經濟現象及其規律的詮釋功能，為進一步運用模型預測產量變化趨勢奠定基礎。

二、成本函數的構造

其基本思想是：相對于給定的產量q，求出使成本最低的要素投入組合（L，k），進而確定此時的成本，即，成本是產量和要素價格的函數。

首先要求出擴張路線方程。由于擴張路線是均衡點的軌跡，因而在擴張路線上，必滿足均衡條件:，由此即得擴張路線方程。其次，與生產函數聯立，求出使成本最低的要素投入組合（L，k）， ，要素投入量也是產量和要素價格的函數。最后，將L，K代入，即得。

例如，設，則擴張路線方程為，由此解出代入后求得 。

若w及r是常數，則就是產量q的一元函數，通常我們用三次函數來表現它:，根據經濟理論先行的原則，可確定系數的符號。

1.所以是固定成本。從短期看廠商能改變勞動力的使用量，改變原材料、燃料等的投入量，但不能變動廠房規模、機器設備數量等，既存在固定成本，故>0從長期看，廠商的全部生產要素投入量都可以變動，如廠房規模、機器設備數量等，因此，不存在固定成本和可變成本的區別，故=0，于是知:≥0。

2.由于邊際成本為正（總成本總是隨著產量的增加而增加的），所以γ>0。又因為:，當q充分大時，上式遵從α的符號。由于>0所以α>0。

3.由于>0 所以沒有實數根，從而 。

4.是邊際成本，當q=0時，邊際成本是遞減的，故。

上述過程從數學角度看，無非是討論了三次函數的有關性質及其一階、二階導數的符號與系數的關系，但從經濟學的角度看，卻表現出總成本與邊際成本的變化規律。兩者的一致性反映了數學模型反映現實的正確性，不一致之處則凸顯出數學模型的局限性。這正說明，用數學模型模擬經濟活動規律的工作，還存在著較大的發展空間。

在研究經濟問題時，經濟直覺是本，數學工具是末。在強調數學工具的重要性時，更要強調經濟直覺的重要性，經濟直覺經過論證形成了經濟理論。因此，必須堅持經濟理論先行原則，才能恰如其分的運用數學工具，避免因陷入繁雜的數學推理而淹沒以至誤導了經濟學的研究方向。