例談數學知識在物理題解中的應用

摘 要：數學是物理學研究的工具，更是深入研究問題和解決問題的基礎。目前學生在平時訓練的過程中并不注重數學知識與物理知識的結合。本文對此精選幾例，分別從不同的角度闡明數學知識在物理題解中的重要性。

關鍵詞：數學知識 物理題解 應用

數學是物理學研究的工具，更是深入研究問題和解決問題的基礎。新課標下物理學科的考試說明對考生應用數學知識處理物理問題的能力所提出的具體要求是：“學生能夠根據具體問題列出物理量之間的關系式，進行相關推理和求解，并根據計算結果得出物理結論；必要時能靈活運用幾何圖形、圖像或函數關系進行表達、分析。”而學生在平時訓練的過程中，恰恰并不注重數學知識與物理思維的結合。針對這樣的問題，本文精選幾例，從不同的角度闡明了數學知識在物理題解中常用的六種方法。如有不足之處，懇請指正。

一、幾何知識的應用

例：路燈距地面高度為h，身高為L的人以速度勻速行走，如圖1所示:①試證明人頭頂的影子做勻速運動。②求人影的長度隨時間的變化率。

解析：（1）設t=0時刻，人位于路燈的正下方O處，在時刻t，人走到S處，根據題意有OS=vt，過路燈P和人頭頂的直線與地面的交點 M為t時刻人頭頂影子的位置，如圖2所示 ：

OM為人頭頂影子到O點的距離，由相似三角形知識可得， = ，OM= = ×t。因OM與時間t成正比，故人頭頂的影子做勻速運動。

(2)由圖2可知，在t時刻人影子的長度SM為SM=OM-OS= ×t-vt= ×t，可見影長與時間t成正比，所以影子隨時間的變化率k= 。

點評：平面幾何知識是物理中應用最廣泛的數學知識之一，它包括對稱點的性質、直角三角形中斜邊大于直角邊、三角形全等與相似等知識。本題利用相似三角形對應邊成比例，結合運動學知識，分析求解，體現了數理結合的重要思想。

二、比例關系的應用

例： 有一天體半徑為地球半徑的2倍，平均密度與地球的相同，在地球表面走時準確的擺鐘移到該天體表面，秒針走一圈的實際時間為多少？

解析： 由于在不同的天體上，重力加速度不同，所以同一擺鐘在不同天體上的周期是不同的。將擺長認為不變，則由萬有引力定律得：mg=GMm/R ，g=GM/R =Gρ( πR )/ R =4πGRρ/3，即g∝R，又因為T∝ ，所以T∝ ，故T /T = = ，即T = 。設秒針走一圈擺完成n次全振動有 = = ，t = t = min。

點評：本題將具體公式轉化為比例式，再利用比例法的傳遞性，直接建立了未知量和已知量之間的關系。運用比例法可以避免繁瑣的公式變換、計算，進而在計算過程中達到簡便直觀的效果。

三、極值判別式的應用

例：某建筑單位自己設計了一個提起重物的簡單器械，其中的部分如圖3所示，OA為一均勻鋼管，每米長所受重力為30N；O是轉動軸，重物的質量m為150kg，掛在距O點1m處的B點，拉力 F作用在A點，豎直向上，為維持平衡，鋼管OA為多長時所用的力最小？這個最小的拉力是多少？

解析：設OA長為重心l在C點，杠桿重為G′=30l，由杠桿平衡條件得：Fl=mg×OB+G′l/2，即Fl=1500+15l ，15l -Fl+1500=0。這是一個關于l的一元二次方程，方程有解的條件是△≥0。這時△=F -4×15×1500=F -90000≥0，所以F≥300N。將F的最小值300N代入方程解得鋼管OA此時長為10m。

點評：本題從社會生活汲取實例，建立物理模型，并且綜合運用物理知識和數學知識，分析求解。體現了新課程標準中“從生活走向物理，從物理走向社會”的理念，意在讓學生理論聯系實際，培養其綜合實踐能力。

四、基本不等式的應用

例： 在電視節目中，我們常看到一種精彩的水上運動——滑水板，如圖4所示，運動員在快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板在水上勻速滑行。設滑板是光滑的，若運動員與滑板的總質量為m=70kg，滑板的總面積為S=0.12m ，水的密度為ρ=10×10 kg/m 。

理論研究表明: 當滑板僅與水平方向的夾角為θ （板前端抬起的角度）時，水對板的作用力大小為N=ρSv sin θ，方向垂直于板面（式中的v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積）。求：為使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度。

解析：選擇滑板與運動員作為研究對象，對其作受力分析，滑板與運動員共受三個力（不計水對滑板的阻力）：重力（mg）豎直向上，水對滑板的彈力（N）與滑板面垂直，繩對人的拉力（F）水平向前。如圖5所示，由物體平衡條件有：Ncosθ-mg=0，又由題中已知條件N=ρSv sin θ，可得牽引速度為v= 。

即：快艇對運動員與滑板的牽引速度是滑板的傾角θ的函數，所以令y=sin θcosθ，則有y =sin θcos θ= sin θ

即 y = ，故快艇最小速度的表達式為：v = 。代入數據得v =3.9m/s。

點評：本題在通過對生活實例進行了簡單的受力分析之后，結合基本不等式，采用整體代換的思想，考查了學生

運用數學知識解決物理問題的能力。

五、三角函數法的應用

例2000年1月20日我國發射了一顆同步衛星，其定點位置與東經98°的經線在同一平面內，若把甘肅省嘉峪關處的經度和緯度近似取為東經98°和北緯α=40°，已知地球半徑R、地球自轉周期T、地球表面重力加速度g（視為常數）和光速c。試求該同步衛星發出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需要的時間。（要求用題給出的已知符號表示）

解析：因為同步衛星與嘉峪關的經度都為98°，所以同步衛星與嘉峪關在同一個平面內，如圖6所示，萬有引力充當向心力，G =mr， r為同步衛星的軌道半徑，地面附近的物體有G =mg，r=，根據余弦定理，L =R +-2Rcosα，L= ，即：t= = 。

點評：關注高新科技和社會熱點，這是科研測試的一個新動向。本題在要求學生掌握萬有引力章節基本知識的基礎上，只有抓住三角形的邊角關系，正確運用余弦定理才能順利解決此類問題。

六、微分思想的應用

例：ab是長為L的均勻帶電細桿，P 、P 是位于ab所在直線上的兩點，位置如圖7所示，ab上產生的靜電場在P 處的場強大小為E ，在P 處的場強大小為E 。求：E 、E 的大小各為多少？

同理如圖10所示，P 處場強的大小E =∫= 。

點評：本題考查了學生靈活運用靜電場的基本知識，分析過程中的關鍵是選擇適當的微元，運用宏觀規律對微元進行分析處理，最后對所處理的結果進行積分。

隨著高考改革的深入及素質教育的全面發展，各學科之間的滲透也在不斷加強，這就要求我們在平時的教學過程中，要注重應用數學知識處理物理問題能力的培養，重視對數學方法的運用。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”