數(shù)學(xué)試題的“理想源”

摘 要：本文就近年來的高考試題探索高考試題的產(chǎn)生規(guī)律，分別從以概念為“源”、以最常見的數(shù)學(xué)公式定理為“源”、“類比”是最好的試題“源”三個方面尋求能夠活化數(shù)學(xué)知識、提升數(shù)學(xué)能力的數(shù)學(xué)試題“理想源”。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)試題 “理想源”

高考數(shù)學(xué)試題的命制，最理想、最基本的“理想源”自然是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)課本涉及的定理、公式，課本中的例題、習(xí)題的變式、演繹，往年高考試題，歷屆中學(xué)數(shù)競賽試題，各地優(yōu)秀的模擬題。這是一個試題的海洋，許多學(xué)生對知識的串、并、結(jié)網(wǎng)和形成框圖能自如掌握，但是，就如何以最少的試題量駕馭試題的海洋，還是一籌莫展。本文就近年來的高考試題探索高考試題的產(chǎn)生規(guī)律，尋求能夠活化數(shù)學(xué)知識、提升數(shù)學(xué)能力的數(shù)學(xué)試題“理想源”。

一、 以概念為“源”

1. 如正純小數(shù)為“源”

解析：由向量加法的平行四邊形法則，OP為平行四邊形的對角線，該四邊形應(yīng)是以O(shè)A和OB的反向延長線為兩鄰邊，則y取最大值0，此時 =x ，所以x的取值范圍是［0，1］。

2.二次函數(shù)y=ax +bx+c(a≠0)無疑是中學(xué)數(shù)學(xué)和高考的亮點，它的定義域、值域、開口、對稱軸、單調(diào)性是那么熟悉，可是就是它們又使我們的學(xué)生感到陌生、可怕。如果我們引入絕對值則有y=ax +b|x|+c，這時的二次函數(shù)則等價轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)y=ax +bx+c(x＞0)ax -bx+c（x＜0），這個時候的定義域、值域、開口、對稱軸、單調(diào)性就不是二次函數(shù)那么簡單了，把a、b、c具體化，如求y=x +|x|+2的最小值還較容易，若化為求y=x +|x-1|+2最小值就不那么簡單了，再引入?yún)?shù)則有求y=x +|x-a|+2的最小值，則成了高考題。

（3）幾乎每一個數(shù)學(xué)知識點都可以引發(fā)、轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)試題，如y=log 在其定義域單調(diào)，引入絕對值后，則有y=log |x|，就有了對稱性，繼續(xù)變換有y=log |x-1|，則失去了偶函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸變?yōu)閤=1，再引入?yún)?shù)a，有y=log |ax-1|，求這個函數(shù)的對稱軸，則成為一道考查對數(shù)運算、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的題目。

對數(shù)函數(shù)是單調(diào)的，一次函數(shù)也是單調(diào)的，每一個知識點都比較容易掌握，如果從簡單的形式開始復(fù)合會是什么樣子呢？如x∈[0，1]，求y=log (ax-1)最大（小）值。這道題考查了對數(shù)的定義域ax-1＞0，復(fù)合函數(shù)的單調(diào)規(guī)律，分類等。對數(shù)函數(shù)是“繁殖率”很強(qiáng)的“理想源”，它與二次函數(shù)、一元有理分函數(shù)、形如y=x+ 都可以復(fù)合得到很好的考查數(shù)學(xué)知識的能力的試題。

三、“類比”是最好的試題“源”

案例1：設(shè)函數(shù)f(x)= ，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的方法，可求得f(-4)+…+f(0)+…+f(5)+f(6)的值為 。

分析：此題利用類比課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項和公式的倒序相加法，觀察每一個因式的特點，嘗試著計算f(x)+f(1-x)。

案例2：在平面幾何中，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB +AC =BC 。”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側(cè)面面積與底面面積間的關(guān)系，可以得出的正確結(jié)論是：“設(shè)三棱錐A-BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩相互垂直，則?搖?搖?搖?搖?搖。”

分析：關(guān)于空間問題與平面問題的類比，通常可抓住幾何要素的如下對應(yīng)關(guān)系作對比：

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”