賦值法在解答數學問題中的應用

摘 要：在數學解題過程中，我們經常碰到一些棘手的問題，往往要選擇不同的方法才能對付不同的問題，這是數學問題解答的常見辦法。本文主要論述運用賦值法解答數學問題。

關鍵詞：數學問題 賦值法 解題方法

賦值法是指給定的關于某些變量的一般關系式，賦予恰當的數值或代數式后，通過運算推理，最后得出結論的一種解題方法。下面介紹它在解答數學問題中的應用。

一、賦值法在二項展開式中的應用

例3. 設f(x)的定義域為R，且f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，求證：f(0)≠0時，f(x)是偶函數。

分析：函數奇、偶性的判斷，根據定義須在關于原點對稱的定義域中來判斷f(-x)與f(x)或-f(x)的關系。

證法一：令x=y=0，則f(0)=1。

賦x為0，y為x，則有：f(x)+f(-x)=2f(0)f(x)，即f(-x)=f(x)，所以f(x)為偶函數。

證法二：賦y為x，x為y，則有：

f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)…………………………………（1）f(y+x)+f(y-x)=2f(y)f(x)…………………………………（2）

∴f(x-y)=f(y-x)=f(-(x-y))，即f(x)為偶函數。

三、賦值法在恒成立問題中的應用

例4. 是否存在實數a，b c，使得函數f(x)=ax +bx+c對于任意實數a均滿足下列條件：

（1）f(sinα)≥2；(2)f(2-cosα)≤2；(3)f(4)≥c，若存在，找出一組數a，b c，并畫出函數的圖象，若不存在，說明理由。

解析：若直接把sinα、2-cosα、4代入原函數化簡，方程個數較多，自變量形式復雜，給解題帶來一定難度，注意到題目中條件對一切實數α均能使等式恒成立，故不妨令α為特殊值為突破口。

在（1）中令sinα=1，則有f(1)≥2，在（2）中令cosα=1，則有f(1)≤2，

∴f(1)=2，即a+b+c=2；

由f(4)≥c，得4a+b≥0，

在（2）中令cosα=-1，可得f(3)≤-2，化簡即得4a+b≤0，可得4a=-b，則可求得c=3a+2；

在（2）中令cosα=0，有f(2)=2-a≤2，∴a≥0，則（1）式表示開口向上，對稱軸為x=2的拋物線，取a=1，此時b-4，c=5，所得拋物線符合題意。

四、在選擇題及填空中的特殊應用

選擇題、填空題因其題目的特殊性，在有些問題中不要求有嚴密的推理證明，而只要能借助于一些特殊方法寫出正確結果即可，故其應用相當普遍。

例7. △ABC中，角A，B，C依次成等差數列，則a+c與2b的大小是（?搖?搖）。

A. a+c＜2b?搖 B. a+c＞2b?搖 C. a+c≥2b ?搖D a+c≤2b

解析：題中沒有給定三角形的形狀，不妨令A=B=C=60°，則可排除A、B，再取角A、B、C分別為30°、60°、90°，可排除C，故答案為D。

解析：∵f(x+1)=-f(1-x)對一切x∈R都成立，當然可以把x+1和1-x分別代入函數關系式得：(x+1+a) (1-x+a) ，化簡后得到a的值。然而既然f(x+1)=-f(1-x)對一切x∈R都成立，不妨令x=0，可得f(1)=0，代入原函數關系可得a=-1，即f(x)=(x-1) ，故f(2)+f(-3)=-63。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”