淺析抽象函數概念教學

抽象函數通常指一類沒有給出具體解析式的函數，其概念是非常簡單的形式定義，它的意象表征抽象而又比較靈活，學生理解有相當難度，很難明確概念的內涵，并對概念的本質屬性準確揭示。而抽象概念學習是整個抽象函數的基礎，概念不清就談不上進一步討論抽象函數的其它問題。如何設計抽象函數的概念教學就成為函數教學的當務之急。下面本文對抽象函數的概念教學進行了初步探究。

一、 從函數概念的本質屬性上把握

對于函數，大多數學生都在頭腦中存在著非本質屬性泛化的錯誤觀念：“有完整數學表達式的才是函數。”這也是他們不能理解抽象函數的根本原因。其實不然，他們并沒有真正掌握函數的本質特征。什么是函數的本質屬性？ “按照某種對應關系f，非空數集中的每一個元素x，在非空數集B中都有唯一的元素與它相對應，這種從A到的B對應是函數”。其概念有兩個要點：一是數集A中的每一個元素在B中都有對應的元素；二是數集A中每一個元素的對應元素只有一個。滿足這兩個條件的對應關系才是函數，這就是函數的本質屬性，也是抽象函數的內涵。這意味著，如果能夠認識到函數的本質特征，是函數不變的性質，除此之外，一切都是可變的，那么，表達形式對于函數來說就是無關緊要的了。實質上，抽象函數y=f(x)，是指對應關系f：x→f(x)，其中x是自變量，定義域中的元素，f(x)是值域中的元素，意即對應關系“f”把定義域中的元素“x”變成了值域中的元素“f(x)”。因此，從本質上講，抽象函數與其它的函數，尤其是具體函數，是沒有差別的，我們也就可以借助于具體函數來討論抽象函數了。

二、 從函數的符號表示上把握

形式不是函數的本質，符號當然也不是。而解析式表示的函數，其自變量可以是任意字母的，自變量的存在形式也可以任意。那么，沒有解析式的函數，其自變量的存在形式可以任意，但自變量是唯一的。例如，函數y=f(x)，x∈R表示以x為自變量，對應關系為f的函數。那么y=f(2x-1)的自變量是x還是2x-1？我們不妨假設y=f(x)是一個具體函數f(x)=x+1，則f(2x-1)=2x，即y=2x?，F在就無需爭辯了，自變量當然是x，而2x-1僅僅是一個中間量。一般地說，一個含x的函數式，無論它以什么樣的形式給出，其自變量都是x，而不是x的某一代數形式。明確了抽象函數的自變量，那么有關于定義域的問題，比如：已知函數y=f(x)的定義域為[1，2]，求函數y=f(2x-1)的定義域，就迎刃而解了。但是，下面這個問題：“已知函數y=f(2x-1)的定義域為[1，2]，求函數y=f(x)的定義域。”解決時需要慎重一些。當然，如果搞清了函數的自變量，問題就不是問題了。根據前面的討論，函數y=f(2x-1)中，自變量是x，而2x-1僅僅是一個中間量，因此，函數y=f(2x-1)的定義域為[1，2]，即x∈ [1，2]，得2x-1∈[1，3]。而函數y=f(x)中的“x”相當于y=f(2x-1)中的“2x-1”這個整體，故函數y=f(x)的定義域為[1，3]。

三、 從函數的圖像及某些性質上把握

奇偶性是函數的重要性質之一，數形結合是重要的數學思想方法。運用函數圖像研究抽象函數的對稱性，你會有意想不到的收獲。例如，設函數y=f(2x-1)是一個偶函數，則函數y=f(x)的圖像的對稱軸是什么？有些學生會誤認為對稱軸還是y軸。產生此誤解的原因是前面的問題還沒有搞清楚，誤認“2x-1”是自變量，從而導致錯誤。實際上應該這樣解答：因為y=f(2x-1)是偶函數，則-f(2x-1)=f(2x-1)，即有f(2x-1)=f[-(2x-1)-2]，令2x-1=t，即有f(t)=f(-t-2)，從而可知y=f(x)的圖像的對稱軸是直線x=1。

如果從函數圖像變換來看也可以這樣解：

圖像變換如下：函數y=f(x)圖像 函數y=f(2x)圖像 函數y=f[2(x-

四、從函數的反函數的角度上把握

反函數與原函數有著密切的關系，深刻理解二者之間的聯系與區別能加深對抽象函數的二重性的認識，提升概念

總而言之，抽象函數的概念教學不能僅僅停留在簡單的語義表述上，而應淡化形式，注重實質。抽象函數概念的理解應是多維度、多因素的。抽象函數僅僅是函數中的一個概念，應從整個函數概念網絡來理解，引導學生向相關知識遷移，重視概念的表層知識與對象結構諸種概念中蘊含的數學思想，培養概念理解的層次觀，逐步完善對概念的認識，提高數學素養。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”