向量法與立體幾何

摘 要：向量法在立幾解題方法中具有顯著的特點、固定的思維模式，在高考中具有突出的地位與作用，因此滲透向量法的思想，對于高三學(xué)生尤為重要。

關(guān)鍵詞：向量法 特點 思維模式 應(yīng)用

隨著全國新課改普遍推開，新教材大面積的推廣使用，高考指向在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點處命題的思路，越來越凸現(xiàn)向量這一知識點重要性，特別是近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，直接或間接考察向量的份量逐漸加大，已成為了高考命題的必考點、熱點，成為聯(lián)系三角、立體幾何、解析幾何的紐帶，其工具性作用也在日益更加凸顯。本文僅就立體幾何中使用的向量法淺談它的作用。

一、向量解題的特點

向量具有幾何式（有向線段）和代數(shù)式（坐標(biāo)表示）兩種表示形式，幾何上的垂直與平行均可以轉(zhuǎn)化為向量的垂直與平行，即轉(zhuǎn)化到向量運算上，實現(xiàn)幾何空間的幾何結(jié)構(gòu)數(shù)量化，以算代證。向量的坐標(biāo)運算正體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。

利用向量法處理幾何問題具有很強的模式性，以向量為工具，可以“機械有效”地解決立體幾何問題；在立體幾何的解答過程中，利用空間向量的觀念和運算求解立體幾何問題可以將嚴(yán)密抽象的邏輯分析和論證轉(zhuǎn)換成普通的代數(shù)運算，具有突出的簡化作用。

解題分析：第一問主要考查立體幾何中線線垂直的證明，運用轉(zhuǎn)化思想，作輔助線將線線垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直的證明；第二問主要是立體幾何中的一類探究性問題。如果考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，純用幾何知識求解，將會顯得繁瑣復(fù)雜，也不容易得到正確的結(jié)果。因此本題的命題的意圖就是考查學(xué)生對立體幾何的圖形的解讀能力和靈活選用恰當(dāng)方法、高效解題的思維能力。（在實際教學(xué)中，運用多媒體展現(xiàn)這一解法，分析這一解法的優(yōu)缺點）

二、向量法解題的思維模式

用向量只是證明立體幾何問題有兩種基本思路：一種是用向量表示幾何量，利用向量的運算進行判斷;另一種是用向量的坐標(biāo)表示幾何量，共分三步：

1.建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，利用空間向量或坐標(biāo)表示問題中所涉及的點、線、面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題。特別需要指出：首先要正確合理地空間直角坐標(biāo)系，（在以正方體、長方體、直棱柱、正棱錐為背景的問題中，常常建系解決問題，應(yīng)注意總結(jié)恰當(dāng)建系的方法）向量的坐標(biāo)形式常用于證明平行、垂直問題，向量的數(shù)量積常用于求角和距離等。

2.通過向量運算，研究點、線、面之間的位置關(guān)系。

3.根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題。

例如（2007湖北高考·理·18題）如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

（Ⅱ）當(dāng)角θ變化時，求直線BC與平面VAB所成的角的取值范圍。

分析：本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力。通過對本題的閱讀，學(xué)生很容易找到建立空間直角坐標(biāo)系的方法，確定各點的坐標(biāo)，從而將本題的問題轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量的計算上來，突破了傳統(tǒng)立體幾何的“作、證、求”思想方法，避免較為復(fù)雜的輔助線做法。

反思：1．本題建系的方法并不唯一，還有很多方法，應(yīng)注意總結(jié)恰當(dāng)建系的方法，問題成功解決，是和坐標(biāo)系的選擇無關(guān)的，所以向量法證幾何題明顯優(yōu)越于其他方法；

=0。以上三個公式，是利用向量解決立體幾何問題的主要理論依據(jù)。

3．用向量知識證明立體幾何問題，仍然離不開立體幾何定理。

通過本文兩個例題的研究，我們可以發(fā)現(xiàn)：用向量法來解決中學(xué)幾何問題，克服了綜合證法常常需要添置若干輔助線而顯得思路曲折的缺點，以算代證，數(shù)形結(jié)合，因而使解題思路更加清晰、簡捷，解法順理成章。

縱觀2007年全國各地高考立幾綜合題，證明空間平行垂直關(guān)系以及求夾角、距離是高考立體幾何題的重點，而向量法在眾多方法中顯得尤為突出，因而在高三立體幾何復(fù)習(xí)教學(xué)中不僅要立足高考，夯實基礎(chǔ)，加強訓(xùn)練，不斷提高學(xué)生的解題能力，更應(yīng)該在解題的方法上多探索，尤其是向量法一定要訓(xùn)練到位，提高立體幾何綜合題的解題效率，為2008年高考打下堅實的基礎(chǔ)。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”