高考數(shù)列常考題型解析

數(shù)列是每年高考必考的內(nèi)容，題型有客觀題和主觀題，命題方向主要以傳統(tǒng)題型為主，解題規(guī)律性強，且易于掌握．從2007年高考的數(shù)學(xué)試卷中可以發(fā)現(xiàn)，實行新課標的省份對數(shù)列的考查方面有了較大的變化，在難度上較往年有所下降，在題型上廣東卷繼承了往年的傳統(tǒng)風(fēng)格．本文筆者結(jié)合高考試題，具體分析數(shù)列常考的幾種題型．

一、考查數(shù)列的定義與基本性質(zhì)

對于數(shù)列的概念，新大綱要求是“了解”，同時明確提出要通過實例來了解數(shù)列的概念．在高考客觀題中，數(shù)列的常用性質(zhì)是最常考查的知識點之一，這種題型難度不大，屬于中低檔題，主要考查基礎(chǔ)知識和基本方法.一般地，等差、等比數(shù)列的定義、性質(zhì)與通項公式是考查的重點，這方面的考題多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，一般屬于中低檔難度題，但解題方法靈活多樣，技巧性較強些．

點評 以上三小題都是考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識，解題關(guān)鍵是要熟記數(shù)列的基本性質(zhì)．

二、考查數(shù)列的通項公式與求和公式

在新考試大綱中，要求掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前項和公式.從歷年的考卷中，我們也可以發(fā)現(xiàn)對它們的直接考查主要以客觀題為主，難度較小；若在大題中考查的，一般會設(shè)幾個小問題，而對通項公式的考查難度上也不會很大，而對求和公式的考查只是起到一種數(shù)學(xué)工具的作用，在解題過程中直接套用公式即可．

例2 等差｛an}數(shù)列的前n項和為Sn，若a2=1，a3=3，則S4=（）.

A． 12 B． 10C． 8D． 6

點評 此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)與求和公式，只需套用公式便可快速求解．

三、考查利用遞推關(guān)系求數(shù)列的通項公式以及數(shù)列的幾種常見求和方法

此類題型一般會給出一個遞推關(guān)系式，要求考生通過關(guān)系式來探究通項公式，這需要考生具有較強的觀察和推理能力，難度較大．數(shù)列的求和問題是數(shù)列一章的重要內(nèi)容，幾乎每年必考，其實質(zhì)是求多項式和的化簡問題，而高考中主要以求等差、等比數(shù)列的和為主．在等差、等比數(shù)知識的應(yīng)用方面，更加強調(diào)創(chuàng)設(shè)具體的問題情境，要求考生自己去發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系．要掌握好幾種有關(guān)數(shù)列求和的方法，如直接運用公式法、裂項相消法、倒序相加法、分組轉(zhuǎn)化法、錯位相減法．

例3 數(shù)列｛an}的前n項和為Sn，a1=1，an+1=2Sn(n?綴N?鄢)．

（Ⅰ）求數(shù)列｛an}的通項；

（Ⅱ）求數(shù)列｛nan}的前n項和Tn．

數(shù)列，Sn=3n-1(n?綴N?鄢)．

當n≥2時，an=2Sn-1=2·3n-2(n≥2)，

∴ an=1，n=1，2·3n-2，n≥2.

（Ⅱ）Tn=a1+2a2+3a3+…+nan，

當n=1時，T1=1；

當n≥2時，Tn=1+4·30+6·31+…+2n·3n-2，①

3Tn=3+4·31+6·32+…+2n·3n-1，②

由①-②得：-2Tn=-2+4+2（31+32+…+3n-2 ）-

點評 此題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識，等比數(shù)列的概念、通項公式及數(shù)列的求和方法，分類討論以及化歸的數(shù)學(xué)思想方法．對第一個問題，很多考生容易漏掉“n=1”時的情況，要注意分類討論，同時不要忘還要將各類情況進行綜合．

點評 此題主要考查數(shù)列的通項公式及數(shù)列的求和，考查分類討論及化歸的數(shù)學(xué)思想方法．解決此類問題的關(guān)鍵是先研究通項，確定型如cn=an·bn，其中｛an}是等差數(shù)列，｛bn}是等比數(shù)列，就可以用錯位相減法求數(shù)列的和.本題利用錯位相減法來求數(shù)列的和是解答的關(guān)鍵步驟.

四、數(shù)列與其他章節(jié)交匯的綜合型

綜合型的題目在數(shù)列中考查比較多，主要是在數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與解析幾何等知識的交匯點處命題，此類題難度大，綜合性強，需要運用的數(shù)學(xué)思想方法較多．在等差、等比數(shù)知識的應(yīng)用方面，考試大綱更加強調(diào)創(chuàng)設(shè)具體的問題情境，要求考生自己去發(fā)現(xiàn)等差、等比關(guān)系．

（2）閱讀程序框圖2，若輸入的n是100，則輸出的變量S和T的值依次是（）.

點評 此題把數(shù)列與方程、導(dǎo)數(shù)、不等式等內(nèi)容進行有機結(jié)合，綜合性強，難度較大，屬于內(nèi)涵豐富的能力型試題，有利于考查考生的綜合素質(zhì)．

要掌握好數(shù)列這部分內(nèi)容，同學(xué)們必須先了解數(shù)列試題的題型特點，才能對準重點，訓(xùn)練到位．在復(fù)習(xí)該章內(nèi)容時，建議同學(xué)們做好如下幾個方面：首先，要仔細研讀考綱，研究考題，以教材為基準，把握復(fù)習(xí)方向；其次，復(fù)習(xí)的重點應(yīng)該是等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念和性質(zhì)，通項公式以及前n項和公式的應(yīng)用；再次，要注重雙基，降低難度，強化解題中一些通性通法的復(fù)習(xí)和強化訓(xùn)練；第四，要注重數(shù)學(xué)課本中有關(guān)數(shù)列的閱讀與思考和探究與發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)材料；最后要在后繼章節(jié)的復(fù)習(xí)中關(guān)注與數(shù)列內(nèi)容有關(guān)的綜合應(yīng)用問題，注重數(shù)列綜合題的訓(xùn)練，提高等價轉(zhuǎn)化的能力及思維的靈活性，深刻領(lǐng)會數(shù)學(xué)思想方法在數(shù)列中的應(yīng)用（如函數(shù)思想和方程的思想）．

責(zé)任編校 賴慶安

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。”