量子計算進展與展望

摘要：評述量子計算的歷史、研究現狀以及進一步發展的方向。著重論述量子算法的機理，對已知量子算法特征進行總結分析；歸納量子計算與經典智能計算的結合模式，比較其與傳統智能計算的異同。在總結量子計算存在問題的基礎上，探討了今后的研究方向。

關鍵詞：量子計算；量子搜索算法；量子智能計算；量子神經網絡；量子遺傳算法

中圖分類號：TP18文獻標志碼：A

文章編號：1001－3695(2008)03－0641－05

基于Alan Turing理論發展起來的現代計算機科學在近幾十年中取得驚人的發展，計算機硬件能力在20世紀60年代后的幾十年時間里以近似Moore定律成長。隨著電路集成度的提高，進一步提高芯片集成度已極為困難。當集成電路的線寬在0．1 μm以下時，電子的波動性質便明顯地顯現出來。這種波動性就是量子效應。為此，多數觀察家預期Moore定律將在21世紀前二十年內結束，人們在考慮替代當前計算機的新途徑。物理學方面，自Max Planck在1900年提出量子假說以來，量子力學給人類生活帶來翻天覆地的變化，改變了經典物理學對世界的認知方式。Moore定律最終失效問題的一個可能解決辦法是采用不同的計算模式，量子計算理論就是這類模式的一種。但是直到1982年，才由Benioff和Feynman發現了將量子力學系統用于推理計算的可能[1， 2]；1985年Deutsch 提出第一個量子計算模型[3]。由此，量子計算迅速吸引了全世界研究者的注意并成為一門具有巨大潛力的新學科。

量子計算是應用量子力學原理來進行有效計算的新穎計算模式，它利用量子疊加性、糾纏性和量子的相干性實現量子的并行計算。量子計算從本質上改變了傳統的計算理念。

1量子計算研究簡史

Benioff最早用量子力學來描述可逆計算機[1]。Feynman發展了Benioff的工作，構造了對應各種邏輯門的哈密頓量[2]。Deutsch則進一步提出了量子圖靈機和通用量子計算機的最初構想[3]，隨后又提出了量子計算網絡[4]，并構造了兩個量子比特的算法。Andrew ChiChi Yao證明了任意在量子圖靈機上是多項式時間可計算的函數一定存在一個相應的多項式大小的量子電路[5]。1993年，Bernstein等人研究了量子計算復雜性理論，對量子計算機在數學上給予嚴格的形式化描述，給出了量子圖靈機比經典概率圖靈機在計算效率上更為強大的證據[6]。

在算法方面，1994年，Shor提出了離散對數問題和大整數質因子分解問題的量子算法，證明了這兩個重要且復雜的問題屬于BQP類[7， 8]。Shor算法極大地促進了量子計算的發展，使人們第一次清楚地看到了量子計算獨具優勢的重要應用前景。從此，世界眾多研究小組加入了該研究行列，量子計算研究領域取得了許多重大進步，如 Jozsa 的因子分解算法[9]，Hogg的約束滿足問題算法[10~14]、Grover的數據庫搜索算法[15]及求中數[16]和平均數的算法[17]等。Shor的另一項同樣重要的成果是率先提出了量子糾錯碼[18， 19]，這使得容錯的量子計算成為可能[19]。量子計算在密碼學領域也取得了迅速的發展，自1984年提出第一個量子密鑰分發協議BB84以來，目前已提出的協議就有十幾個。

2量子計算研究領域

2．1量子算法

目前已知的最為成功的兩類量子算法是基于Shor的量子Fourier變換算法和基于Grover的量子搜索算法。第一類算法包括了大數因子分解算法和離散對數算法[7]。該類算法提供了對最好的經典算法的指數加速。基于Fourier變換的量子算法實際上是求周期函數的周期問題，最終可歸結為隱含子群問題。基于Grover的量子搜索算法則提供了經典算法的根方加速，目前已經發展成為量子搜索算法體系。量子搜索算法的重要性在于經典算法中基于搜索技術的應用非常廣泛。這些應用中，許多都可以利用比經典算法更快的量子算法進行加速求解。自Shor因子分解算法和Grover搜索算法提出后，雖然眾多研究者在量子算法領域進行了大量的研究，但迄今為止并沒有取得重大突破。

2．2量子計算應用

2．2．1解決經典計算難題

大數質因子求解問題是公認的NP問題，如給定一個足夠大的數，可以驗證某個數是否是它的因子，但無法在有限的時間里找出它所有的因子。Shor的量子算法將大數質因子求解轉換為P問題，激發了人們尋找對其他NP問題可能存在的量子算法，但還不清楚量子計算是否可以將所有的NP問題轉換為P問題。量子計算解決NP問題的一個辦法是利用量子并行機制搜索問題的所有可能解。這種辦法并不能給出對所有NP問題都可以進行有效解答的方法[20]，但在 NP問題中有可能存在更深層的結構，使得可以用量子計算快速求解。

2．2．2量子搜索

量子搜索利用量子并行計算的優勢在解空間進行完全搜索，并將目標振幅放大從而求得解。Grover量子搜索算法的提出最初用于搜索非結構化數據庫問題，之后掀起了研究量子搜索的高潮。經過許多研究者的不斷完善和發展，Grover量子搜索算法已經形成一個比較完整的搜索算法體系，能夠適應各種不同的搜索需求。現實中許多問題都可歸結為搜索問題，如最短路徑、排序、圖著色、數據庫搜索及密碼中的窮舉攻擊等均屬于這類問題。量子搜索能將這些問題中的部分NP類問題轉換為P類問題（如圖著色問題）或是對問題的求解進行加速。目前，各種量子搜索算法的具體應用正在不斷涌現。

2．2．3密碼學

Shor提出的量子大數因子分解算法使得量子計算機可以輕易破譯RSA公開密鑰體系，量子密碼因此受到了極大的關注。Wiesner在1970年寫了一篇很有創意的有關共軛編碼的文章，奠定了量子密碼學的基礎。因Wiesner的想法太新奇，論文被拒絕刊登，直到1983年才得以發表[21]。Bennet等人繼續該課題的研究并取得了豐碩的成果[22]。量子密碼學系統利用了Heisenberg的不確定性原理，原則上量子密碼學可以提供不可破譯、不可竊聽的保密通信體系。關于量子密碼方面的進展可參閱文獻[23~27]。國內李傳鋒等人在建立量子密碼體系方面也取得了一定成果。

2．2．4模擬量子系統

量子計算的另一個重要用途是用來模擬量子系統，即量子仿真。仿真的目標是給出系統的初始狀態，通過模擬求解在某個時間或位置時的系統狀態。早在1982年，Feymann就猜想用量子計算機來模擬一切局域量子系統；1996年Lloyd證明了這一猜想的正確性[28]。用經典計算機模擬量子系統雖然有可能，但一般不是很有效，特別是在系統的復雜性呈指數級增長時。模擬量子系統的演化將成為量子計算的一個主要用途。

2．2．5量子智能計算

將量子計算內在并行和態糾纏等特性與傳統智能計算相互結合，具有很好的發展潛力。量子計算理論應用于智能計算最早開始于專家系統，現在已應用到更多的智能計算當中。

除以上介紹外，量子計算還在生物、醫學、化學等領域中得到廣泛的重視和研究。

2．3量子計算物理實現

與量子計算理論方面的飛速進展相比，量子計算的實驗進展則要慢得多。量子計算的物理實現被認為應至少滿足如下要求[29]：量子比特要有足夠長的相干時間；具備有完備的普適幺正操作能力；具備初態制備能力；必須有能力對量子計算機終態實施有效的量子測量。原則上有諸多體系能進行量子計算的工作，但至今真正能開展這方面實驗工作的并不多。目前已提出的實現物理量子計算的方案主要包括利用原子和光腔相互作用、冷束縛離子系統、電子

或核自旋共振、量子點、超導約瑟芬森結及光子晶格等量子系統。

3量子算法

量子計算機用量子比特(quit)來存儲信息。與經典計算機中的比特不同，量子比特的狀態可以是0態也可以是1態，也可以是0態和1態的任意線性疊加。一個n位的量子寄存器可處于2n個基態的相干疊加態|>中，即可以同時存儲2n個不同的數字(態)。對量子寄存器進行一次操作就相當于對經典計算機的2n次操作，這就是量子的并行性。此外，量子還存在相干性與消相干、糾纏性等重要特性。量子算法的核心就是利用量子計算機的這些特性來加速求解的速度，可以達到經典計算機不可比擬的運算速度和信息處理功能。目前有三類優于已知傳統算法的量子算法[30]：a）基于Fourier變換的量子算法，包括DeutschJozsa（DJ）算法和Shor的因子分解算法及離散對數算法；b)Grover的量子搜索算法；c)量子仿真算法，用量子計算機模擬量子系統。

3．1基于Fourier變換的量子算法

利用QFT可以在多項式步驟內完成求解函數f(x)=ax mod N的周期問題。Shor算法正是利用這一原理將大數質因子分解這一著名的NP問題轉換為P問題。目前，有效的傳統因子分解算法的時間復雜度為O(exp[n1/3(lg n)2/3])。在量子計算機上，利用Shor量子算法求n位大數的兩個質因子時間復雜度為O(n2(lg n)(lg lg n)[8]，是n的多項式。可以看出，利用Shor量子算法取得了對經典算法的指數級加速。

量子Fourier變換除了用來求解周期函數的周期外，還能用來求解隱含子群問題，并且可以將求階、求周期、離散對數和其他問題歸結為隱含子群問題的特例。Jozsa首先給出了DJ算法、Shor 算法在隱含子群形式下的統一描述[9]。有關量子Fourier變換作用的最近一些進展可參閱文獻[31~33]。

3．2量子搜索算法

1997年Grover提出了另一種很有用的量子算法。它適用于解決從N個無序元素集合中找出滿足要求的元素。傳統經典算法解決此類問題的平均時間復雜度是O(N)；Grover量子搜索算法通過標注目標矢量并將目標基態概率幅放大進行求解，平均時間復雜度是O(N/M)。其中M是滿足解的個數。

Grover量子搜索算法中，當M＝N/2時，搜索成功概率不超過50%。針對這種情況，宋輝等人[34]提出了當M＞N/3時，改變變換矩陣的改進Grover量子算法，并證明了在M＞N/3時，只通過一次迭代就能以超過90%的概率獲得正確解。Grover量子搜索算法提出不久后，有人提出量子態不必翻轉[35，36]，只需旋轉一個適當的角度便可以獲得與上述Grover量子搜索算法等同的效果。Long guilu等人的研究否定了該想法[37]，提出了量子搜索的相位匹配條件。孫吉貴等人深入分析并總結了Grover量子搜索算法的優點和不足[38]；其他學者也對Grover 量子搜索算法做了大量的研究工作[39~43]。Grover量子搜索算法在搜索過程中沒有使用具體問題的特殊結構信息，為了在搜索中利用問題的結構信息，Hogg提出了基于結構的搜索算法——約束滿足算法[10~13，44]。Grover量子搜索算法中變量是離散的，為了能在連續變量的全局優化問題（GOP）中應用該算法進行加速，可以對GOP進行劃分、歸類，逐步轉換為局部優化問題[45]。 Bulger等人[46]給出了一種用Grover量子搜索算法實現純適應的搜索（PAS）算法，稱為Grover的適應搜索（GAS）。

傳統搜索算法面臨的主要問題是解空間過大，需要搜索路徑過多，因此經典搜索策略的核心是設法減少實際搜索空間。在量子搜索算法中，由于利用了量子并行的優勢，經典搜索算法中所面臨的解集振幅小、測量時不易得到的問題能輕易解決。量子搜索算法策略的核心是如何快速地使振幅向解集集中，同時考慮變換實現的復雜性和魯棒性。傳統搜索算法考慮的是如何避免在無效路徑上進行搜索，量子算法考慮的是如何減少消除非目標路徑上的振幅，并把它轉移到解路徑上來[38]。量子算法中還有一類是量子仿真算法，具體討論可參考文獻[20]。

4量子智能計算

量子智能計算近幾年來引起眾多研究者極大的興趣，它有效地利用了量子理論原理并結合傳統智能計算的優勢。目前的研究領域包括量子神經網絡、量子遺傳計算、量子退火計算、量子克隆計算、量子免疫計算、量子聚類計算及量子小波計算等。

4．1量子神經網絡

建立于簡化的神經元模型和學習規則基礎之上的人工神經網絡(artificial neural network，ANN)在很多領域得到了成功的應用。隨著需要處理信息量和復雜度的迅速增加，ANN暴露出如下不足：信息量大的情況下處理速度慢、記憶容量有限、學習能力差、接收新信息時會發生災變性失憶等。與ANN相比，量子系統的演化更類似于人腦信息處理過程。將ANN與量子理論結合起來能更好地模擬人腦的信息處理過程，也為ANN的研究和發展開拓新的方法。

美國Louisiana州立大學KAK最早將量子理論與神經計算相結合，提出量子神經計算的概念[47]；之后，量子神經計算領域的研究日趨活躍。表1總結了目前幾種典型的QNN 模型。這些不同的模型在實現神經元、連接方式、網絡類型及動力學特征的原理和方法上有很大區別。國內，解光軍等人[48~50]、李飛等人[51]、鐘艷花等人[52]從不同角度對量子神經進行了研究并取得了一定成果。

李偉鋼量子并行自組織映射模型以并行計算為基礎，通過對傳統的Kohonen自組織映射模型進行改進后得到，能在量子計算環境中實現并行自組織映射并具有一次學習能力

4．2量子遺傳算法

遺傳算法(genetic algorithm， GA)是模擬生物進化過程中優勝劣汰規則與群體內部染色體信息交換機制的一種處理復雜優化問題的方法。雖然GA具有良好的魯棒性和廣泛適用性，但GA存在迭代次數多、收斂速度慢、易陷入局部極值和過早收斂等缺陷。Narayanan等人首先將GA與量子理論相結合，提出了量子遺傳算法的概念[53]。隨后，國內外眾多研究人員在該領域展開研究[54~58]。取得的成果包括：自適應調整搜索網格的策略對量子旋轉門更新[54]；多宇宙實現并行進化[57]，提高收斂速度，優化量子旋轉門；二相位方案實現量子狀態預置以加速搜索[55]；采用混沌理論更新量子旋轉門等[56]。QGA中遺傳操作是針對量子位的，轉換到二進制串僅是為計算個體適配值。然而，函數優化中大部分遺傳操作是針對二進制編碼的，同時大量研究表明實數編碼的GA對復雜函數優化問題具有較好的性能。考慮QGA和傳統GA的混合，王凌等人提出了混合量子遺傳算法[58]。該算法采用多模態空間和多操作搜索的混合，將基于量子門更新的搜索過程和基于二進制串或實數本身的遺傳搜索過程相結合，有利于豐富搜索行為和增強搜索能力，避免早熟收斂。周殊等人基于粒子群優化方法提出一種新的量子遺傳算法[59]。該算法在更新操作中沒有使用QGA中常用的量子門，而是使用了粒子群優化方法來更新量子狀態。在QGA的基礎上，楊淑媛提出了量子進化算法（quantum evolutionary algorithm，QEA）[60]；李映等人模擬生物機制中的免疫機理提出了免疫量子進化算法[61]；劉芳等人則結合人工免疫系統中的克隆算子提出了量子克隆進化算法[62]。此外，量子計算理論還可用于更廣泛的智能計算，包括聚類分析、模糊邏輯及小波分析等。例如Blat等人[63]提出的基于相關點的Pott自旋和統計機理的算法，通過求解一系列隨溫度變化的自由能函數的全局極小來得到聚類問題的最優解；Klappenecker則給出了實現小波包變換的量子電路方法[64]。

5量子智能計算與傳統智能計算的比較

5．1QNN與ANN

ANN和QNN都是對人工神經網絡工作機理的模擬，它們的很多功能都是源于并行信息處理能力。ANN對人腦的模擬比較簡單，它利用簡化的神經元模型和學習方法來實現問題的求解和決策。這些神經元模型和學習方法所能實現的功能與真正的人腦決策功能存在很大差距，如處理速度不夠快、容量有限、容錯性差及自適應能力不強等。QNN利用了量子計算理論，比ANN具有更強的并行處理能力和更大的存儲容量。量子理論是經典物理發展到微觀層次的產物。量子系統是所有物理過程的微觀系統基礎，也是生物和心理過程的基礎，具有與生物神經網絡相似的動力學特征。QNN將量子理論和ANN結合起來，能更好地模擬和解釋人腦的信息處理過程，是ANN的量子延伸和進化。與ANN相比， QNN在記憶容量、回憶速度、有效性、學習能力、消除災變性失憶能力和信息處理速度等方面具有明顯的優勢。QNN被認為是ANN的一個新興發展方向。

5．2QGA、QEA與GA、EA

其目的都是利用和模擬生物的進化機制來提高求解問題的能力。GA強調染色體的操作，個體在進化過程中的交叉是在相鄰個體之間進行，容易出現過早收斂且收斂速度慢。EA發展源于GA，在進化過程中保留了最優個體，保證下一代個體一般不差于前代，使個體趨于最優，同時采用交叉和變異操作，生成更好的個體和維持群體的多樣性。但EA沒有利用進化中未成熟優良子群體所提供的信息，限制了進化速度。

QGA和QEA利用量子疊加態及量子計算的并行性優點，以量子位編碼來表示染色體。一個量子染色體上攜帶多個狀態的信息，能帶來豐富的種群，進而保持群體的多樣性。QGA和QEA在搜索過程中通過選擇使具有較高適應度的個體不斷增多，并且根據量子坍塌的機理，采用隨機方法產生新個體，不斷探索未知空間。QGA和QEA在整個種群中進行交叉操作，變異時通過量子門變換來利用敗者的信息，確保算法向最優解收斂，并使搜索過程得到最大的積累收益。QGA使用量子變換來完成進化搜索，使得算法性能有較大提高。表2列出了QGA與GA的主要區別。

5．3量子智能計算與免疫進化和克隆進化計算

免疫進化和克隆進化計算都是在進化智能計算基礎上發展而來。免疫進化計算是模仿自然免疫系統功能的一種智能方法，它通過學習外界物質的自然防御機理，提供噪聲忍耐、無教師學習、自組織記憶等進化學習機理；克隆進化計算是模仿生物無性繁殖中的記憶、學習、進化及抗體多樣等特性的智能計算方法。免疫量子進化和量子克隆進化是它們的量子延伸，仍然采用量子染色體編碼和量子變換達到進化求解的目的，故在保持免疫進化、克隆進化計算諸多優點的同時，以量子并行和態糾纏等優勢使算法性能得以極大提升。

5．4量子智能計算進一步研究方向

量子智能計算作為量子計算的一個研究領域，其發展還處于初始階段，今后的研究方向包括：a）面向具體問題，將傳統的智能計算和量子理論相結合，構造面向問題的量子智能計算方法，例如將量子智能計算用于圖像處理的圖像分割算法等。b）發展并完善現有的量子智能計算體系。雖然有不少研究者已經在該領域進行研究且取得了一些成果，但還需更深入地對量子理論和傳統智能算法的結合進行研究，有些領域的研究目前還處于空白。 c）對量子智能計算算法性能進行嚴格的數學分析。目前提出的一些量子智能計算算法較傳統智能計算算法確實有更好的性能，但在算法收斂性、計算復雜性等方面還需進一步分析和研究。

6存在的問題和進一步研究方向

6．1存在的問題

量子計算發揮作用的前提是量子計算的物理實現，即量子計算機的構建。雖然量子計算機的實現原則上已沒有不可逾越的障礙，但技術上的實現卻遇到嚴重的困難。無論是量子并行計算還是量子模擬計算，本質上都是利用了量子相干性，但在實際系統中量子相干性很難保持。此外，量子的糾纏狀態也很容易崩潰，且粒子數目越多，實現糾纏狀態就越困難。要制造出實用的量子計算機，就必須使更多的粒子實現糾纏狀態。在量子算法方面，自Shor因子分解和Grover搜索算法提出后，雖然各國眾多的研究者在該領域進行了大量的研究，但迄今為止，還沒有發現其他解決經典問題的新量子算法。一方面是因為無論經典算法還是量子算法，算法設計本身就不容易，更何況要設計出超過最好的現有經典算法的量子算法就更顯不易；另一方面，量子計算機上能提供相對經典計算機進行加速的問題可能本來就不多，而已經發現了其中的大部分重要算法；此外，量子計算機與人們的直覺相差太遠，在過去幾十年中發現傳統經典算法的經驗對于如何發現和尋找量子算法毫無幫助，即使存在對很多問題有效的量子算法，也很難找出。

6．2進一步研究的方向

在目前量子計算機還未進入實際應用的情況下，量子計算的研究重點包括：a）計算的物理實現。提高量子體系中相干操控的能力，實現更多的量子糾纏狀態。b）研究新的量子算法。目前還有很多經典算法無法解決的難題，研究新的能解決這些難題的量子算法是一個重要方向。c）增強現有量子算法的實用性和擴展現有量子算法的應用范圍，如將量子Fourier變換的應用推廣到解決隱含子群問題以及更廣的范圍，將Grover 算法體系擴展到二維和多維搜索域等。

參考文獻：

［1］BENIOFF P.Quantum mechanical Hamiltonian models of turing machines[J].Journal of Statistical Physics，1982，29(3):515－546.

[2]FEYNMAN R P.Simulating physics with computers[J].International Journal of Theoretical Physics，1982，21(67):467－488.

[3]DEUTSCH D.Quantum theory， the ChurchTuring principle and the universal quantum computer[J].Proceedings of the Royal Society of London Ser A，1985，A400:97117.

[4]DEUTSCH D. Quantum computational networks[J].Proceedings of the Royal Society of London Ser A，1989A425:73－90.

[5]YAO A C.Quantum circuit complexity[C]//Proc of the 34th Annual Symposium on Foundations of Computer Science.Los Alamitos:IEEE Computer Society，1993:352－361.

[6]BERNSTEIN E，VAZIRANI U.Quantum complexity theory[C]//Proc of the 25th ACM Symposium on the Theory of Computation.New York:ACM Press，1993:11－20.

[7]SHOR P W.Algorithms for quantum computation:discrete logarithms and factoring[C]//Proc of the 35th Annual Symp on Foundations of Computer Scienc. New Mexic:IEEE Computer Society Press，1994:124－134.

[8]SHOR P W.Polynomialtime algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer[J].SIAM Journal on Computing，1997，26(5):1484－1509.

[9]JOZSA R.Quantum algorithms and the Fourier transform[J].Poceedings of the Royal Society of London Ser A，1998，A454:323－338.

[10]HOGG T. Quantum computing and phase transitions in combinatorial search[J].Journal of Artificial Intelligence Research，1996，4:91－128.

[11]HOGG T.A framework for structured quantum search[J].Physica D，1998，120(1):102－116.

[12]HOGG T.Highly structured searches with quantum computers[J].Physical Review Letters，1998，80(11):2473－2476.

[13]HOGG T，YANIK M.Local search methods for quantum computers[R].[S.l.]:Xerox PARC，1998.

[14]HOGG T.Solving highly constrained search problems with quantum computers[J].Journal of Artificial Intelligence Research，1999，10:39－66.

[15]GROVER L K.A fast quantum mechanical algorithm for database search[C]//Proc of the 28th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing.New York:ACM Press，1996:212－219.

[16]GROVER L K.A fast quantum mechanical algorithm for estimating the median，quantph/9607024[R].Murray Hill，NJ:Bell Labs，1996.

[17]GROVER L K. Quantum telecomputation，quantph/9704012[R].Murray Hill，NJ:Bell Labs，1997.

[18]SHOR P W.Scheme for reducing decoherence in quantum computer memory[J].Physical Review A，1995，52(4):2493－2500.

[19]SHOR P W.Tolerant quantum computation[C]//Proc of the 37th Annual Symposium on Foundations of Computer.[S.l.]:IEEE Computer Society Press，1996:56－65.

[20]NIELSEN M，CHUANG I.Quantum computation and quantum information[M].London:Cambridge University Press，2000.

[21]WIESNER S.Conjugate coding[J].Sigact News，1983，15(1):78－88.

[22]BENNETT C H，BESSETTE F，BRASSARD G，et al.Experimental quantum cryptography[J].Journal of Cryptology，1992，5(1):3－28.

[23]BENNETT C H，BRASSARD G.Quantum cryptography:public key distribution and coin tossing[C]//Proc of IEEE Internat Conf on Computers，Systems and Signa Processing.NewYork:IEEE，1984:175.

[24]BENNETT C H. Quantum cryptography using any two nonorthogonal states[J].Physical Review Letters，1992，68(21):3121－3124.

[25]EKERT A K. Quantum cryptography based on Bell’s theorem[J].Physical Review Letters，1991，67(6):661－663.

[26]GOLDENBERG L，VAIDMAN L.Quantum cryptography based on orthogonal states[J].Physical Review Letters，1995，75(7):1239－1243.

[27]KOASHI M，IMOTO N.Quantum cryptography based on split transmission of onebit information in two steps[J].Physical Review Letters，1997，79(12):2383－2386.

[28]LLOYD S.Universal quantum simulators[J].Science，1996，273(5278):10731078.

[29]周正威，黃運鋒，張永生，等.量子計算的研究進展[J]. 物理學進展，2005，25(4):368－385.

[30]SHOR P W.Progress in quantum algorithms[C]//Proc of Quantum Information Processing.2004:5－13.

[31]HALLGREN S.Polynomialtime algorithms for Pell’s equation and the principal ideal[C]//Proc of the 34th Annual ACM Symposium on Theory of Computing.New York:ACM Press， 2002:653－658.

[32]DAM W，HALLGREN S，IP L.Quantum algorithms for some hidden shift[C]//Proc ofACMSIAM Symposium on Discrete Algorithms.2003:489－498.

[33]KUPERBERG G. A subexponentialtime quantum algorithm for the dihedral hidden subgroup problem[EB/OL].http://xxx.lanl.gov/abs/quantph/0302112.

[34]宋輝，戴葵，王志英.一種改進的量子搜索算法[J]. 計算機工程與科學，2002，34(5):4－14.

[35]GROVER L K.Quantum computers can search rapidly by using almost any transformation[J].Physical Review Letters，1998，80（19）:4329－4333.

[36]ZALKA C.A Groverbased quantum search of optimal order for an unknown number of marked elements[EB/OL].(1999－0212).http://xxx.lanl.gov/abs/quantph/9902049.

[37]LONG Guilu，LI Yansong，ZHANG Weilin，et al.Phase matching in quantum searching[J].Physics Letters A，1999，262(1):27－34.

[38]孫吉貴，何雨果.量子搜索算法[J]. 軟件學報，2003，14(3):334－344.

[39]BIRON D，BIHAM O，BIHAM E，et al.Generalized Grover search algorithm for arbitrary initial amplitude distribution[EB/OL].http://xxx.lanl.gov/abs/quantph/9801066.

[40]LI Daxin，LI Xinxin.More general quantum search algorithm Q=-IγV IτU and the precise formula for the amplitude and the nonsymmetriceffects of different rotating angles[J].Physics Letters A，2001，287(5－6):304－316.

[41]FANG Yiyuan，KASZLIKOWSKI D，CHIN C M，et al.Entanglement in the Grover search algorithm[J].Physics Letters A，2005，345:265－272.

[42]CHENG S，TAO M.Quantum cooperative search algorithm for 3SAT[J].Journal of Computer and System Sciences，2007，73(1):123126.

[43]PARK S，BAE J， KWON Y.Wavelet quantum search algorithm with partial information[EB/OL].(2003).http://arXiv.arg/abs/quantph/0303025.

[44]HOGG T.Quantum search heuristics[J].Physical Review A，2000，61(5):052311.

[45]PROTOPOPESCU V，BARHEN J.Solving a class of continuous global optimization problems using quantum algorithms[J].Physics Letters A，2002，296(1):9－14.

[46]BULGER D，BARITOMPA W P，WOOD G R.Implementing pure adaptive search with Grover’s quantum algorithm[J].Journal Optimization Theory and Applications，2003，116(3):517－529.

[47]KAK S C.On quantum neural computing[J].Information Sciences，1995，83(3－4):143－160.

[48]解光軍，莊鎮泉.量子神經計算模型研究[J].電路與系統學報，2002，7(2):83－88.

[49]解光軍，李斌，莊鎮泉.量子系統實現神經計算的理論分析[J].電子與信息學報，2003，25(5):606－611.

[50]解光軍，范海秋，操禮程.一種量子神經計算網絡模型[J]. 復旦學報:自然科學版，2004，43(5):700703.

[51]李飛，鄭寶玉，趙生妹.量子神經網絡及其應用[J]. 電子與信息學報，2004，26(8):1332－1339.

[52]鐘艷花，余永權，余曉敏.量子神經動力學分析[J]. 量子電子學報，2005，22(2):192－195.

[53]NARAYANAN A，MOORE M.Quantuminspired genetic algorithm[C]//Proc of IEEE International Conference on Evolutionary Computation. Piscatawa:IEEE Press，1996.

[54]ZHANG Gexiang，JIN Weidong，HU Laizhao.A novel parallel quantum genetic algorithm[C]//Proc of the 4th International Conference on Parallel and Distributed Computing，Applications and Technologies.[S.l.]:IEEE Press，2003:693－697.

[55]HAN K H，KIM J H.Quantuminspired evolutionary algorithms with a new termination criterion，gate，and twophase scheme[J].IEEE Trans on Evolutionary Computation，2004，8(2):156－169.

[56]HUI C，JIASHU Z，CHAO Z，et al.Chaos updating roated gates quantuminspired genetic algorithm[C]//Proc of International Conference on Communications，Circuits and Systems.[S.l.]：IEEE Press，2004:1108－1112.

[57]楊俊安， 莊鎮泉， 史亮. 多宇宙并行量子遺傳算法[J]. 電子學報，2004，32(6):923－928.

[58]王凌，吳昊，唐芳，等.混合量子遺傳算法及其性能分析[J]. 控制與決策，2005，20(2):156－160.

[59]周殊，潘煒，羅斌，等.一種基于粒子群優化方法的改進量子遺傳算法及應用[J].電子學報，2006，34(5):897－901.

[60]楊淑媛.量子進化算法的研究及其應用[D].西安:西安電子科技大學，2003.

[61]李映，張艷寧，趙榮椿，等.免疫量子進化算法[J].西北工業大學學報，2005，23(4):543－547.

[62]劉芳，李陽陽.量子克隆進化算法[J].電子學報，2003，31(12A):2066－2070.

[63]BLAT M，WISEMAN S，DOMANY E.Superparamagnetic clustering of data[J].Physical Review Letters，1996，76:3251－3255.

[64]KLAPPENECKER A.Wavelets and wavelet packets on quantum computers[C]//Proc of Wavelet Applications in Signal and Image Processing.1999.

“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”