高考數學考點常見錯誤分析

縱觀廣東五年高考考點表，可以發現數列，導數，圓錐曲線與直線，向量，正弦余弦定理作為考試重點.目前復習階段整理重點考點中的錯解，非常必要，也是經過實踐證明的提高成績最有效的武器之一.“會而不對，對而不全”是眾多考生的通病，因此，正確的克服它對高考成敗起著至關重要的作用.下面舉例說明，希望能起到拋磚引玉的作用.

例1 求數列1，a，a2，…，an-1前n項和.

考點要求 掌握等比數列的前n項和公式.

錯解 Sn=1+a+a2+…＋an-1＝ .

錯解分析 本題一方面忽略了對數列是否為等比數列的判斷，事實上注意到當a=0時，數列不是等比數列，另一方面易忽略對能否為1進行討論， 數學思想上沒有分類思想.

正解 令Sn=1+a+a2+…＋an-1，分類討論：

1. 當a=0時，Sn=1；

2. a≠0時，數列是等比數列.

（1）當a=１時，Sn=n ；

（2）當a≠1時，Sn=.

例2 在ΔABC中，以3，4，K為三邊組成的鈍角三角形，求K的取值范圍.

考點要求 掌握余弦定理，解決一些簡單的三角形度量問題.

錯解 根據余弦定理知cosA＜0，當以K為最大邊時， 即32+42-K2<0，K>5；當以4為最大邊時，3２+ K2－4２<0，05 或0

錯解分析 三角形中，鈍角與cosA＜0不等價，能構成三角形的條件是兩邊之和大于第三邊. 數學思想表現為分類錯誤和等價錯誤.

正解 1. 三邊能構成三角形的條件是3+4>K，4-3

2. 由余弦定理，鈍角三角形條件是cosA＜0， cosA≠-1， 得到K>5 或0

例３已知f（x）=ax3+3x2-x+1在R上是減函數，求實數a的取值范圍.

考點要求 能利用導數研究函數的單調性.

錯解 f ′（x）=3ax2+6x-1，∵ f （x）在R上是減函數，∴3ax2+6x-1＜0在x∈R上恒成立，即a＜0且Δ=36+1２a＜0，故a＜3.

錯解分析 f ′（x）<0是f （x）在R上是減函數的充分條件，利用這個充分條件會漏解；數學思想上不是等價化歸思想. f （x）在（a，b）上單調遞增（或單調遞減）的充要條件是：對任意x∈（a，b），都有f ′（x）≥0（或f ′（x）≤0）且f ′（x）在任意子區間上都不為零.

正解f ′（x）=3ax2+6x-1，∵ f （x）在R上是減函數. ∴3ax2+6x-1＜0 在x∈R上恒成立， 即a＜0且Δ=36+12a≤0，故a≤３. 檢驗：當a＝３時， f （x）=-3x3+ 3x2-x+1=-3（x- ）3+ 在R上單調遞減，滿足題設.

例４ 已知向量 ， 夾角為６０°，｜ ｜=2，｜ ｜=1，向量 =2k +7 ， = +k ，若 與 的夾角θ為鈍角，求的k取值范圍.

考點要求 向量有關計算，會進行平面向量數量積的運算，能運用數量積表示兩個夾角.

錯解 #8226; =（2k +7 ）#8226;（ +k ）＝2k ２＋（2k２＋７） #8226; ＋7k ２＝2k２＋１５k＋７，∵ #8226; ＝｜｜#8226;｜｜cosθ，由題意可知0＜θ＜π，∴2k２＋１５k＋７＜０，解得－７＜k＜ .

錯解分析 對兩個向量夾角范圍認識不清楚，忽視當 與 夾角θ＝π時，cosθ＝－１，數學思想上表現不等價.

正解 由2k +7 =λ( +k ）（λ＜０），可得k= ，再附上述錯解內容即可得k 的取值范圍是（－７， ）∪（ ， ）.

例５ 已知拋物線y2=2x，過點M（０，３）的直線與拋物線只有一個交點的直線有（）條.

A． 1B． 2C． 3D． 4

考點要求 掌握直線與拋物線位置關系.

錯解 設直線方程：y=kx+3與y2=2x，聯立方程組，可得方程k2x2+（６k-2）x+9=0，利用Δ=0，解得k= ，故選A.

錯解分析 忽視切線斜率不存在的情況，及平行于拋物線對稱軸的兩種情況，數學思想上表現為數形結合不到位，只有一個交點不一定是切線.

正解 選C，如圖兩條切線，一條與對稱軸平行的直線.

練習:（2007年湖北高考文科16題）求 f （x）＝２sin2（ ＋x）－ cos2x，x∈（ ， ）的最大值和最小值.（要注意x∈（ ， ）對解題的影響）

正確應用數學思想和審題是解題的關鍵，平時多注意研究錯誤解法，對解題的順利進行必將有較大的促進作用.

責任編校 徐國堅