求直線方程易錯(cuò)的幾個(gè)典型問(wèn)題

求直線方程是解析幾何中的基本題型之一，在求解問(wèn)題時(shí)，如果考慮不周全或忽略特殊情況，就往往會(huì)出現(xiàn)漏解、錯(cuò)解現(xiàn)象.本文就此問(wèn)題從九個(gè)方面加以剖析，以引起同學(xué)們的注意.

一、不注意傾斜角的取值范圍引發(fā)的錯(cuò)誤

在處理直線問(wèn)題時(shí)，一定要注意傾斜角的取值范圍是0°≤?琢＜180°，否則很容易會(huì)出現(xiàn)只考慮銳角而丟掉鈍角的情況，而漏解.

例1 一條直線l過(guò)點(diǎn)（2，1）且與x軸的夾角為45°，求這條直線的方程.

錯(cuò)解 ∵直線l與軸的夾角為45°，∴直線的傾斜角α＝45°， ∴直線l的斜率k=tan45°=1，所以直線方程為y-1=x-2，即x-y-1=0.

剖析 上面的解法只考慮了直線l與x軸的夾角為45°，∴直線的傾斜角α＝45°這一種情況，而當(dāng)傾斜角為１３5°時(shí)，直線l與x軸的夾角也為45°.

正解 ∵直線l與x軸的夾角為45°，∴直線的傾斜角α＝45°或１３5°，∴直線的斜率k=tan45°=1或k=tan135°=-1.當(dāng)斜率為1時(shí)，直線方程為y-1=x-2，即x-y-1=0；當(dāng)斜率為－1時(shí)，直線方程為y-1=-（x-2），即x＋y-3=0，∴這條直線方程為x-y-1=0或x＋y-3=0.

點(diǎn)評(píng) 這里對(duì)傾斜角的理解最關(guān)鍵，根據(jù)直線l與x軸的夾角為45°，而只認(rèn)為直線的傾斜角為α＝45°這一銳角，而漏掉直線的傾斜角α＝１３5°是鈍角的這一情況，從而漏掉了一條直線方程.

二、忽視隱含條件增解引發(fā)的錯(cuò)誤

傾斜角的取值范圍是0°≤?琢＜180°，有時(shí)在解題時(shí)隱含著這一條件，若不注意會(huì)導(dǎo)致超出范圍，擴(kuò)大解集而引發(fā)出錯(cuò)誤.

例2 已知通過(guò)定點(diǎn)A（8，6）的四條直線，其傾斜角的比是1∶ 2 ∶ 3 ∶ 4，第二條直線方程3x-4y=0，求其余三條直線方程．

錯(cuò)解 設(shè)四條直線的傾斜角依次為?琢、2?琢、3?琢、4?琢，由已知tan2?琢= ，即 = ，整理得3tan2?琢＋8tan?琢－3=0，解得tan?琢= 或tan?琢=－3．當(dāng)tan?琢= 時(shí)，可求得第一條直線為x-3y+10=0；第三條直線為13x-9y-10=0；第四條直線為24x-7y-150=0；當(dāng)tan?琢=－3時(shí)，可求得第一條直線為３x＋y-３２=0；第三條直線為９x-１３y-150=0；第四條直線為24x-7y-150=0．

剖析 上述求解過(guò)程，沒(méi)有考慮到直線傾斜角的取值范圍．由方程3tan２?琢＋8tan?琢－3=0，解出tan?琢= 或tan?琢=－3，事實(shí)上，由0°≤4?琢＜１８０°，可知0°≤?琢＜４５°，所以tan?琢=－3是增根，應(yīng)舍去．

正解 設(shè)四條直線的傾斜角依次為?琢、2?琢、3?琢、4?琢，∵0°≤4?琢＜１８０°，∴0°≤?琢＜４５°．由已知tan2?琢= ，即 = ，整理得3tan2?琢+8tan?琢－3=0，解得tan?琢= 或tan?琢=－3 (舍去)， ∴第一條直線方程為y-6= （x-8），即x-3y+10=0.又tan3?琢= = = ，所以第三條直線方程為y-6=

（x-8），即13x-9y-10=0.而tan4?琢= = ，所以第四條直線方程為y-6= （x-8），即24x-7y-150=0．

點(diǎn)評(píng) 直線的傾斜角?琢的范圍是0°≤?琢＜180°，在解題時(shí)若不深入挖掘這個(gè)隱含條件，就會(huì)擴(kuò)大解集．

三、選用直線方程的形式不當(dāng)引發(fā)的錯(cuò)誤

若將直線方程設(shè)為點(diǎn)斜式y(tǒng)－y0=k（x－x0）或斜截式y(tǒng)=kx＋b，即已經(jīng)承認(rèn)直線斜率存在，而漏掉了直線斜率不存在的情況，因此應(yīng)針對(duì)斜率是否存在進(jìn)行分類討論.

例3 求經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（2，5），并且與點(diǎn)（－4，1）距離等于6的直線方程.

錯(cuò)解 設(shè)所求直線的斜率為k，因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)

P（2，5），則直線方程為y－5＝k（x－2），整理得kx－y－2k＋5＝0，原點(diǎn)到該直線距離d＝ ，由題意得 =6，∴12k＋5＝0，∴k＝- .即所求直線方程為- x-y+2(- )+5=0，即5x＋12y－50＝0.

剖析 錯(cuò)解中設(shè)直線的斜率為k，直線方程為y－7＝k（x－2），就已承認(rèn)直線斜率存在，這樣就忽略了當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)而直線存在的情況.

正解 （1）當(dāng)斜率存在時(shí)，由上述解得5x＋12y－50＝0;（2）當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線平行于y軸，直線方程為x＝2，點(diǎn)（－4，1）到它的距離為6，∴x＝2是所求直線方程.綜上可得，直線方程為5x＋12y－50＝0和x＝2.

點(diǎn)評(píng) 一般地，求直線方程，設(shè)為點(diǎn)斜式或斜截式是常見(jiàn)的兩種形式.設(shè)本身已承認(rèn)了直線的斜率存在，所以易出錯(cuò)，因此，一定要考慮斜率不存在而直線存在的形式.

例4 已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，1)點(diǎn)，且被兩平行直線l1：x＋y＋1=0和l2：x＋y＋6=0截得的線段之長(zhǎng)為5，求直線l的方程．

錯(cuò)解 設(shè)直線l的方程為y=k（x－3）＋1，解方程組

y=k（x-3）+1，x+y+1=0，得y= ，y=- .∴直線l與l1交于A( ，- )，解方程組y=k（x-3）+1，x+y+6=0，得y= ，y=- . ∴直線l與l2交于B( ，- )． 由題意，得

|AB|=5，∴( - )2＋［- -（- ）］2= 52，解之得k=0，∴所求直線l的方程為y=1．

剖析 直線的點(diǎn)斜式方程是以直線斜率存在為前提的，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，不能建立和使用直線的點(diǎn)斜式方程．在錯(cuò)解中，設(shè)直線l的方程為y=k(x－3)＋1，已經(jīng)默認(rèn)了直線l的斜率存在，從而漏去了直線l斜率不存在的情況，而本題中過(guò)P點(diǎn)且斜率不存在的直線恰好符合題意，所以錯(cuò)解丟掉了一個(gè)解．

正解 若直線l的斜率存在，由前面解法知，所求直線l的方程為y=1．若直線l的斜率不存在，則直線方程為x=3，此時(shí)與l1、l2的交點(diǎn)分別為A（3，－4)、B（3，－9），截得的線段AB的長(zhǎng)|AB|=|－4＋9|= 5，符合題意．綜上所述，直線l的方程為y=1或x=3．

點(diǎn)評(píng) 此題還可以這樣考慮：求過(guò)一定點(diǎn)，且被兩已知平行直線截得線段為定長(zhǎng)a的直線，當(dāng)a小于兩平行直線之間距離d時(shí)無(wú)解；當(dāng)a=d時(shí)有唯一解；當(dāng)a＞d時(shí)，有且只有兩個(gè)解．所以，此題可先求出夾角?茲后再求直線l的斜率或傾斜角，這樣解題較為簡(jiǎn)便．

四、忽視斜率不存在的情況引發(fā)的錯(cuò)誤

含參數(shù)的直線方程中，一定注意垂直于x軸的情況，此情況直線方程存在而斜率不存在，常常忽視而漏解.

例5 已知直線mx＋8y＋m－10=0 和直線x＋2my－4= 0 垂直，求m的值.

錯(cuò)解 兩條直線的斜率分別為k1=－ ，k2=－ ，由垂直條件得k1k2=－1?圯(－ )(－ )=－1?圯 =－1，顯然不成立.因此，兩條直線不能垂直.

剖析 錯(cuò)誤的原因是無(wú)條件地把直線的一般式化為斜截式，而當(dāng)m = 0時(shí)，直線x＋2my－4=0的斜率不存在，此時(shí)不能化為斜截式，因此，也不存在k2=－ .

正解 若m≠0時(shí)，兩條直線的斜率分別為k1=

－ ，k2=－ ，由垂直條件得k1k2=－1?圯(－ )(－ )=－1?圯 =－1，顯然不成立.因此，兩條直線不能垂直；若m=0時(shí)，兩直線方程為y= 和x=4，這兩條直線垂直，所以兩條直線垂直時(shí)，m=0.

五、忽略截距為零引發(fā)的錯(cuò)誤

截距相等包含兩層意思，一是截距不為零時(shí)相等，二是截距為零時(shí)相等，而后者常被忽視，造成漏解，因此，對(duì)于此類題目，也要分類討論.

例6 求過(guò)點(diǎn)M（3，2），且在x、y軸上的截距相等的直線方程.

錯(cuò)解 因?yàn)樗笾本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)M且在坐標(biāo)軸上的截距相等，所以可設(shè)所求直線方程為 ＋ =1.將M點(diǎn)坐標(biāo)代入可得a=5，故所求直線方程為x+y=5.

正解 “截距相等”分截距為零和截距不為零兩種情況，上述解法漏掉了截距為零的情況，即直線y=6x也合題意，正確答案為兩條直線：y=6x和x+y=5.

點(diǎn)評(píng) 在x、y軸上的截距相等，設(shè)直線方程為截距式 ＋ =1最簡(jiǎn)單，但此形式已經(jīng)認(rèn)為不過(guò)原點(diǎn)，所以過(guò)原點(diǎn)截距都為零這種情況極易漏掉，應(yīng)引起注意.

例7 已知直線l在x軸、y軸上的截距的絕對(duì)值相等，且到點(diǎn)（1，2）的距離為 ，求直線l的方程．

錯(cuò)解 由于直線l在x軸、y軸上的截距的絕對(duì)值相等，所以直線l的斜率為1或－1，設(shè)l的方程為y= x＋m或y=－x＋m，又點(diǎn)（1，2）到直線l的距離為 ，∴ = 或 = ，由|m－1|= 2，解得m=3或m=－1；由|3－m|=2解得m=1或m=5，故所求直線l的方程為y=x＋3或y=x－1或y=－x＋1或y=－x＋5．

剖析 錯(cuò)解忽視了直線l在兩坐標(biāo)軸上截距都為零的情況，解答不完整，截距為零的情況也符合題意．

正解 當(dāng)l在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為零時(shí)，解法同上．

當(dāng)l在兩坐標(biāo)軸上的截距都為零時(shí)，方程應(yīng)為y=kx，根據(jù)題意，得 = ，解這個(gè)方程的得k= －2或k=－ －2，所以方程為y=( －2)x或y =－（ ＋2）x．

綜合上述可得，l的方程為y=x＋3或y=x－1或y =

－x＋1或y=－x＋5或y=（ -2）x或y=－（ ＋2）x．

點(diǎn)評(píng) 兩軸上的截距相等，包含了截距相等且不為零和截距相等且為零兩種情況，前者斜率為－1，可用方程 ＋ =1，后者斜率不一定為－1，常利用形如y=kx的方程．

六、忽視公式中限制條件引發(fā)的錯(cuò)誤

例8 求過(guò)點(diǎn)P (5，2)，且和直線y=x +5相交成45°角的直線方程．

錯(cuò)解 設(shè)直線l1：y = x + 5的斜率為k1，所求直線l2的斜率為k2，若l1到l2的角為45°，則由兩直線的夾角公式tan?茲= ，得tan45°= ，即1 = ，亦即1 +k2=k2－1，此式顯然不成立，故滿足條件的直線不存在．

剖析 上述解法似乎無(wú)懈可擊，但滿足條件的直線確實(shí)存在，那么究竟錯(cuò)在哪里呢？

下面我們來(lái)分析兩直線到角公式推導(dǎo)過(guò)程中值得注意的一些問(wèn)題．

如圖，設(shè)直線l1的傾斜角為?琢1，l2的傾斜角為?琢2，直線l1到l2的角為?茲，則?茲=?琢2－?琢1，那么tan?茲= tan(?琢2－?琢1) = ，設(shè)k1=tan?琢1，l2=tan?琢2，故有tan?茲= ．從上面的推導(dǎo)過(guò)程，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)?琢1、?琢2或?茲中有一個(gè)角為90°時(shí)，tan?琢1或tan?琢2就失去了意義，從而到角公式就失去了意義，因此，使這個(gè)公式成立的條件還應(yīng)有?茲≠90°且?琢1≠90°，?琢2≠90°．

上面的錯(cuò)解是假設(shè)?茲=45°，由k1= 1知?琢1=45°，但沒(méi)有排除?琢2=90°的可能．事實(shí)上，由?茲=45°，?琢1=45°，則?琢2=?茲＋?琢1=90°，這時(shí)公式就失去了意義．這就是上面解法出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因所在．

正解 ⑴設(shè)直線l1到直線l2的角為45°，又l1的斜率為k1，有?琢1=45，于是l2的傾斜角為90°，故l2垂直于x軸，又l2過(guò)點(diǎn)P (5，2)，所以l2的方程為x=5．

⑵設(shè)直線l2到直線l1的角為45°，則直線l1平行于x軸，又l2過(guò)點(diǎn)P (5，2)，故l1的方程為y=2．

故所求直線方程為x= 5或y= 2．

點(diǎn)評(píng) 在運(yùn)用兩直線到角的公式時(shí)，必須注意使公式成立的有關(guān)條件，教材中提到了使1+k1k2≠0的情形，即兩條直線不垂直的條件限制．

七、混淆截距與距離引發(fā)的錯(cuò)誤

要明確截距的概念，直線l與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)叫做直線在y軸上的截距，簡(jiǎn)稱縱截距.直線l與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫做直線在x軸上的截距，簡(jiǎn)稱橫截距.截距可取一切實(shí)數(shù)，即可為正數(shù)、零、負(fù)數(shù).在此要區(qū)分截距與距離的概念，距離必須大于零或等于零.

例 9求過(guò)點(diǎn)P(－5， －4)且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為5的直線方程.

錯(cuò)解設(shè)直線方程為 + =1，且直線過(guò)點(diǎn)P(－5， －4)，得 + =1 ①，又 ab=5，故ab=10 ②，由①②無(wú)解，故直線方程不存在.

正解這里將直線在x軸和y軸的截距當(dāng)成距離.事實(shí)上，直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為 ，而不是 ，由 =5，與①聯(lián)立解得a=- ，b=4a=5，b=-2，故所求方程為 + =1或 + =1，即8x－5y +20 = 0或2x－5y－10 = 0.

點(diǎn)評(píng) 學(xué)生在解題時(shí)，對(duì)概念的內(nèi)涵理解不透，常引發(fā)錯(cuò)誤，此題面積為 誤認(rèn)為 ，產(chǎn)生錯(cuò)解.

八、應(yīng)用直線系方程漏解引發(fā)的錯(cuò)誤

例10過(guò)兩直線x + y－1 = 0和2x－y + 4 = 0的交點(diǎn)，且到原點(diǎn)的距離為 的直線方程.

錯(cuò)解 設(shè)所求直線為x + y－1 + λ(2x－y + 4) = 0，即(2λ+1)x + (1－λ)y + 4λ－1= 0.由題意得 = ，解得λ=- ，故所求直線方程為2x + 11y－20 = 0.

正解 原點(diǎn)到直線2x－y + 4 = 0的距離也為 .一般地，f1+ λf2=0表示經(jīng)過(guò)的f1、f2交點(diǎn)但不包括f2的所有直線，而上述解法恰好漏掉了直線2x－y + 4 = 0，故應(yīng)先分類討論.所以滿足條件的直線方程為2x + 11y－20 = 0和2x－y + 4 = 0.

點(diǎn)評(píng) 此題特殊情況就在于原點(diǎn)到兩直線x + y－1 = 0和2x－y + 4 = 0的交點(diǎn)的距離正好等于原點(diǎn)到直線2x－y + 4 = 0的距離 ，而直線系x + y－1 + λ(2x－y + 4) = 0又不包括直線2x－y + 4= 0，所以極易漏掉直線2x－y + 4 = 0.

九、位置關(guān)系考慮不周引發(fā)的錯(cuò)誤

例11直線l過(guò)點(diǎn)M(1 ， 2)且A(2 ， 3)、B(4 ，－5)到直線l的距離相等，求直線l的方程.

錯(cuò)解 由題意，所求直線過(guò)M(1 ， 2)且與AB平行，而k =－4，故所求直線方程為y－2 =－4(x－1)，即4x + y－6 = 0.

正解 上面的解法中遺漏了另一種情況，B、A分別位于直線l的兩側(cè)且到l的距離相等的情況.易知，此種情況下，直線l必過(guò)AB的中點(diǎn)N(3，－1)，又直線l過(guò)點(diǎn)M，因此，直線方程為3x + 2y－7=0.故所求直線方程應(yīng)為4x + y－6 = 0或3x + 2y－7=0.

點(diǎn)評(píng) 點(diǎn)A、B在直線l的同側(cè)時(shí)，直線AB與直線l平行；在點(diǎn)A、B在直線l的異側(cè)時(shí)，直線AB與直線l相交，學(xué)生在做題時(shí)，極易只考慮平行情況而出錯(cuò).

責(zé)任編校徐國(guó)堅(jiān)