線性規劃的常見題型及解析

線性規劃是聯系幾何知識和代數知識的交匯點，是數形結合思想的集中體現.線性規劃問題成為近幾年高考的熱點問題，本文結合近三年年相關省份高考數學試題中的典型試題進行分類解析，希望能對同學們有所啟發和幫助.

一、平面區域問題

例1 （2005年浙江卷）設集合A＝{(x，y)|x，y，1－x－y是三角形的三邊長}，則A所表示的平面區域(不含邊界的陰影部分)是()

解析 x，y，1－x－y是三角形的三邊長，由三角形三邊關系，可以得到如下不等式組：

應用“直線定界，特殊點定域”的解題方法，即可確定二元一次不等式組表示的平面區域的位置.正確選項為A.

點評 確定二元一次不等式（組）所表示平面區域應注意：畫不等式Ax+By+c＞0表示的平面區域時，直線應畫成虛線；畫不等式Ax+By+c≥0表示的平面區域時，直線應畫成實線；畫不等式組表示的平面區域，應找出各不等式所表示的平面區域的公共部分．

例2 （2006年浙江卷）在平面直角坐標系中，不等式組x+y-2≥0，x-y+2≥0，x≤2，表示的平面區域的面積是()

解析 畫出滿足不等式組的可行域（圖1中陰影部分），易求三角形的三個頂點坐標為A（0，2），B（-2，0），C（2，0）．

點評 有關平面區域的面積問題，首先準確畫出符合條件的可行域，取得有關點的坐標，然后利用面積公式整體或部分正確求解是關鍵．

二、求目標函數的最值（取值范圍）問題

例3 （2007年陜西卷）已知實數x、y滿足條件x-2y+4≥0，3x-y-3≤0，x≥0，y≥0，則z=x+2y的最大值為 .

解析 畫出滿足不等式組的可行域（圖2中陰影部分），將z=x+2y化為l∶y=- x+ 的形式，因此問題化歸為求直線l在y軸上的截距 的最大值．

觀察圖可知，當直線l經過圖中的點A（2，3）時，直線l在y軸上的截距 最大，所以z=x+2y的最大值是2+2×3=8．

點評 對于形如z=ax+by型的目標函數，可先變形為y=- x+ ， 看作是直線在y軸上的截距，問題就轉化為求 的范圍或最值問題；特別要注意：當b＞0時， 與z同大小；當b＜0時， 與z大小相反．

例4 （2005年江西卷）設實數x， y滿足x-y-2≤0，x+2y-4＞0，2y-3≤0，則 的最大值是________．

解析 畫出滿足不等式組的可行域（圖3中陰影部分），將 化為 ，問題轉化為求可行域內點(x，y)與原點(0，0)連線斜率的最大值．

點評 對于形如z= (ac≠0)型的目標函數，可先變形為z= · 的形式，將問題化為求可行域內點(x，y)與點- ，- 連線斜率的 倍的范圍或最值問題.

例5 （2006年湖南卷）已知x≥0，x-y+1≤0，2x-y-2≤0，則x2+y2的最小值是 .

解析 畫出滿足不等式組的可行域（圖4中陰影部分），將目標函數z=x2+y2化為z=(x-0)2+(y-0)2，問題歸結為求可行域內的點(x，y)與原點(0，0)距離的平方的最小值，即以原點為圓心的半徑最小的圓，顯然當圓過圖3中的點A時，半徑最小．

點評 對于形如z=(x-a)2+(y-b)2型的目標函數，均可化歸為求可行域內的點(x，y)與點(a，b)間距離的最值問題.

例6 （2007年北京卷）若不等式組x-y+5≥0，y≥a，0≤x≤2，表示的平面區域是一個三角形，則a的取值范圍是（）

解析 如圖5，不等式組x-y+5≥0，0≤x≤2，表示的平面區域是一個梯形，它的一個頂點坐標是(2，7)，用平行于x軸的直線y≥a截梯形得到三角形，則a的取值范圍是 5≤a＜7.正確選項為C.

點評 解決含有字母參數的問題，關鍵是先畫出已知可行域所表示的區域，然后根據題目條件，通過數形結合求解.

三、求可行域中的最優解問題

例7 （2005年山東卷）設x、y滿足約束條件x+y≤5，3x+2y≤12，0≤x≤3，0≤y≤4，則使得目標函數z=6x+5y的最大的點(x，y)是．

解析 畫出滿足不等式組的可行域（圖6中陰影部分），將z=6x+5y變形為l∶y=- x+ ，當直線l過點A（2，3）時，直線l在y軸上的截距 最大，即z最大．

所以，當x=2，y=3時，目標函數z=6x+5y的值最大，故所求的點為（2，3）．

點評 求目標函數在可行域中的最優解的步驟是：根據約束條件，作出可行域；由目標函數作z=0時的關于的直線；將直線平移，在可行域內找出直線的縱截距取得最小值或最大值的點；滿足題意的點就是所求的最優解.

四、求整點問題

例8 （2006年山東卷）某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y須滿足約束條件5x-11y≥-22，2x+3y≥9，2x≤11，則z=10x+10y的最大值是（）

A. 80 B. 85C. 90 D. 95

解析 畫出滿足不等式組的可行域（圖7中陰影部分），將z=１０x+１０y變形為y=-x+ ，它表示為斜率為-1，縱截距為 的平行直線系，要使z=10x+10y取得最大值.當直線z=１０x+１０y通過點A ， 時，z取得最大值.因為x，y?綴N，故A點不是最優整數解.于是，我們考慮可行域內A點附近整點B（5，4）、C（4，4）.經檢驗，當直線經過B點時，Zmax=90即為所求.

點評 在求整數（橫坐標和縱坐標都是整數的點）最優解時，可在去掉限制條件求得的最優解的基礎上，調整優解法，通過分類討論獲得最優整數解.如果可行域是有限區域且整點個數又較少，可逐個將整點坐標代入目標函數求值，經比較求整點最優解.

五、實際應用問題

例9 （2007年山東卷）本公司計劃2008年在甲、乙兩個電視臺做總時間不超過300分鐘的廣告，廣告總費用不超過9萬元，甲、乙電視臺的廣告收費標準分別為500元/分鐘和200元/分鐘，規定甲、乙兩個電視臺為該公司所做的每分鐘廣告，能給公司事來的收益分別為0.3萬元和0.2萬元．問該公司如何分配在甲、乙兩個電視臺的廣告時間，才能使公司的收益最大，最大收益是多少萬元？

解析 設公司在甲電視臺和乙電視臺做廣告的時間分別為x分鐘和y分鐘，總收益為z元，由題意得x+y≤300，500x+200y≤90000，x≥0，y≥0， 即x+y≤300，5x+2y≤900，x≥0，y≥0，且目標函數為z=3000x+2000y．

作出二元一次不等式組所表示的平面區域即為可行域．

如圖8所示，作直線l：3000x+2000y=0，即3x+2y=0．

平移直線l，從圖中可知，當直線l過M點時，目標函數取得最大值．

聯立x+y≥300，5x+2y≥900，解得x=100，y=200．

∴點M的坐標為(100，200)．

∴Zmax=3000x+2000y=700000（元）

答：該公司在甲電視臺做100分鐘廣告，在乙電視臺做200分鐘廣告，公司的收益最大，最大收益是70萬元．

點評 此類應用題從條件中建立數學模型，然后利用圖形解決實際問題．在解題過程中，建立數學模型需要讀懂題意、仔細分析、適當引進變量．由此可見，解決線性規劃問題不僅需要一定的數學知識，還需要閱讀能力、抽象概括能力來分析問題，最終解決問題．

責任編校 賴慶安

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”