轉換與化歸思想在解題中的應用

轉換與化歸思想是解決問題的一種基本而有效的思想方法，在中學數學解題思想中占據重要地位，也是高考重點考查的思想方法之一.所謂轉換與化歸思想，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之轉化，進而達到解決的一種方法.

簡易化和有效化是轉換與化歸思想的運用原則，就是通過化繁為簡、化難為易、化生為熟、化抽象為直觀等揭示知識聯系，實現有效轉化，其關鍵就是找到“節點”，建立“通道”，把此一知識、方法和思想轉換為彼一知識、方法和思想.本文主要通過分類的形式以及具體的實例進行解析，談如何有效且靈活地應用轉換與化歸思

想.

一、未知問題轉化為已知

有些問題無法直接由條件得出結論，我們可以考慮通過對條件進行轉化達到化未知為已知的效果，這樣常常能巧妙地解決問題.

例1 解不等式 ≤2.

解析 原式子是分式不等式，先把它移項整理得 ≤0，再轉化為我們熟知的不等式組（x+5）（x-8）≤0（x-8）≠0，即可求得其解集為{x|-5≤x＜8}.

點評 分式不等式的簡便的解法便是將其轉化為我們熟知的不等式或不等式組來解決.

例2 在等差數列{an}中，若a10=0，則有等式a1+a2+…＋an＝a1+a2+…＋a1９－n（n＜19，n∈N＊）成立.類比上述性質，在等比數列{bn}中，b9=1，則有等式

成立.

解析 等差數列{an}中，a10=0，根據等差數列的性質有：

點評 初看此題好像很難找到解題思路，但只要把題目的條件加以分析和轉化，把未知的條件轉化為我們熟知的等差數列的性質之后，即可找出其內在的本質，然后類比得出結論.

二、函數與方程的轉化

由于方程f（x）=0有實數根?圳函數y=f（x）的圖像與x軸有交點?圳函數y=f（x）有零點，所以方程與函數之間可以互相轉化，即方程問題可以轉化為函數問題來解決，函數問題也可以轉化為方程問題來解決.

例3 方程x2-4x+m=0的一個根大于1，另一個根小于1，求m的取值范圍.

解析 將方程轉化為函數f（x）=x2-4x+m，則問題變為此函數的一個零點大于1，另一個小于1，求m的取值范圍.畫出函數圖像可知△＞0f（1）＜0，即可得到m的取值范圍為{m|m＜3}.

點評 一般而言，對于方程的根的分布問題往往可以轉換為函數圖像與x軸交點的位置問題進行化歸，從而問題得以有效解決.

例4 已知二次函數f（x）=ax2-bx+c，若a＞b＞c，且f（1）=0，證明f（x）的圖像與x軸有兩個交點.

解析f（x）的圖像與x軸有兩個交點轉化為方程有兩個根，則須△＞0.由f（1）=a+b+c=0且a＞b＞c，得a＞0且c＜0，所以△＝b2-4ac＞0，由此可知 f（x）的圖像與x軸有兩個交點.

點評f（x）的圖像與x軸的交點個數問題可以轉化為方程的根的個數問題，然后用方程的判別式求解.

三、函數與不等式的轉化

在解題過程中，我們不僅經常碰到函數與方程互相轉化的問題，也經常遇到函數與不等式互相轉化的問題，其中常見的是把不等式恒成立問題轉化為函數問題.

例5 設不等式2x-1＞m（x2-1）對滿足|m|≤2的一切實數m的取值都成立，求x的取值范圍.

解析 將不等式轉化為函數：令f（m）=2x-1-m（x2-1）=（1-x2）m+2x-1，這可看成是一條直線，且使|m|≤2的一切實數都有2x-1＞m（x2-1）成立，所以f（2）＞0f（-2）＞0，即2x2-2x-1＞02x2+2x-3＜0，解得 ＜x＜ .

點評 這個問題由于常見的思維定勢，易把它看成關于的不等式進行分類討論，這樣做顯然困難之極.然而，變換了一個角度：把m看成是自變量，設f（m）=（x2-1）m-（2x-1），把這個不等式問題轉化為函數問題，解決這個問題也就水到渠成了.

四、一般與特殊的轉化

一般性與特殊性可以相互轉化.特殊性雖然不能代替一般性，但二者是相互聯系的.一般性寓于特殊性之中，所以我們可以從問題的特殊性入手，探索研究問題的一般性.把一般轉化為特殊在選擇題和填空題中更是常常用到，即常說的“特殊值代入法”.

例6 已知△ABC頂點的直角坐標分別為A（３，４），Ｂ（０，０），Ｃ（c，０）.若∠A是鈍角，求c的取值范圍.

解析 先考慮∠A是直角的情形：由△ABD∽△CBA， 得= ，即c = ，要使∠A＞90°，則c ＞ ，∴ c的取值范圍是（ ，＋∞）.

點評 把一般的鈍角三角形化為特殊的直角三角形來解決問題，然后運用射影定理（或兩三角形相似性質），因此解決起來比常規方法簡便得多，且大大減少了計算量.

例7 已知橢圓 + =1，F是其右焦點，過F作橢圓的弦AB，設|FA|=m，|FB|=n，則 + 的值為_________.

解析 取特殊情況，即過F作x軸的垂線交橢圓于A、B兩點，則|FA|=|FB|= ，因此可得 + = .

點評 由于無論弦AB是任何情形， + 都是定值，所以取垂直這種特殊情況即可求解.

五、數與形的轉化

將數學語言轉化為圖形來解決數學問題往往可以使抽象思維與形象思維有機結合.在實際解題過程中，通過借助圖形往往可以使數學問題簡單化，從而達到有效解決問題的目的，這也就是我們常說的數形結合思想.一般來說，函數與方程、解析幾何等問題中常用到數與形的轉化.這也需要我們掌握一些常用函數的圖像，如二次函數、指數函數、對數函數等，及一些常用曲線的圖像，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線等.

例8 求方程|x2-2x-3|=a（a≥0）的不同實根的個數.

解析 將此方程先轉化為函數y=|x2-2x-3|與y=a的交點個數，再畫出圖像（如下圖所示），則方程的不同實根的個數即為兩函數的交點個數.

通過觀察可以得到：當a＞4或a=0時，有兩個實根；當a=4時，有三個實根；當0＜a＜4時，有四個實根.

點評 形如f（x）=0的根的問題，經常轉化為y=f（x）的圖像和x軸的交點問題；形如f（x）=g（x）的根的問題，總是轉化為y=f（x）和y=g（x）的圖像的交點問題.

例9 過點（ ，０）且與雙曲線x２－y２=2僅有一個公共點的直線有（）

A. 4條 B. 3條 C. 2條 D. 1條

解析 作出雙曲線圖像及點（ ，０），可以發現：過點（ ，０）且與雙曲線x２－y２=2僅有一個公共點的直線的有3條，即切線x= 以及兩條與漸近線平行的直線y=±（x- （如右上圖所示）.

正確選項為B.

點評 此題若用代數方法求解，即設出直線方程y=k（x- ），與雙曲線聯立消去y得到有關x的一元二次方程（1-k2）x2+2 k2x-2k2-2=0后，根據1-k2=0或△=0求出的k取值的個數，來判斷有多少條過點（ ，０）且與雙曲線x2-y2=2僅有一個公共點的直線，這種解法計算量大，且容易出錯，再者很容易漏掉1-k2=0以及直線方程的斜率不存在的情況.而在此題中，我們把數學語言轉化為圖形進行求解，就簡便多了，而且不易出現錯漏，這是靈活運用轉換與化歸思想的好處.

六、空間與平面的轉化

空間與平面的轉化一般是以立體幾何為重要載體，如位置關系轉化包含線線平行、線面平行、面面平行之間的轉化以及線線垂直、線面垂直、面面垂直之間的轉化（這就需要對其性質定理和判定定理掌握熟練），二面角轉化為平面角，直線與平面所成的角轉化為直線與直線所成的角，異面直線轉化為相交直線，三視圖轉化為立體圖形，空間距離轉化為平面距離等.

例10 在半徑是13cm的球面上有A、B、C三點，AB=BC=CA=12cm，求球心O到經過這三點的截面的距離.

解析 作出A、B、C三點的截面⊙O1，球心O到經過這三點的截面的距離轉化為平面中的直角三角形的一邊OO1（如圖所示），進而利用勾股定理求解.

在Rt△AOO1中，有R=13，r= ×6 =

4 ，所以OO1= ＝１１.

點評 球心到截面的距離都是轉化為平面距離來求解.若球的半徑為R，截面半徑為r，球心O與截面的距離為h（如圖所示），則必有h= .

七、正向與逆向的轉化

如果直接解決問題有困難或解決不出來時，可以把正面問題轉化為反面問題來解決，即我們常說的逆向思維.

例11 已知下列三個方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0至少有一個方程有實根，求實數a的取值范圍.

解析 先求使三個方程都沒有實根的實數a的取值范圍：

由△１＝（４a2）-4（－4a+3）＜0△2＝（a-1）2-4a2＜0△3=（２a2）-4（－２a）＜0，

可知４a2＋4a－3＜0３a2＋２a－１＞0a2+２a＜0，得到- ＜a＜1，并取其補集可得到實數a的取值范圍為：{a|a≤- 或a≥1}.

點評 此題如果直接求解，同學們對“至少”可能比較難理解，從而不知如何下手，而用逆向思維則可以輕易得到解題思路.

八、整體與局部的轉化

一般來說，常用的思維方法是按部就班地分析問題，但面對較為復雜的數學問題時，卻往往需要我們把整體與局部互相轉換，然后化歸為簡單的方法來求解.有時是把局部轉化為整體，有時卻是把整體轉化為局部.

例12 已知數列{an}，且an= ，求其前n項和.

解析 將通項公式an= 轉化為an= （ － ）后，容易求得其前n項和：

點評 在數列里經常將通項公式的整體轉化兩部分來解決，常見的有以下轉化形式：若數列是公差為的等差數列，則 = （ － ），

轉換與化歸思想是數學中最基本的思想.數學問題解決的過程，實際上也是由條件向結論轉化的過程，由條件先得出過渡的結論，然后一步一步轉化，得到最后的結論.因此，要實現由此及彼的轉換，從而最終實現化歸，對問題中各種條件的分析、比較和判斷是非常重要的，我們應該善于找出或建立能夠引起知識有效轉化的過渡性條件.這要我們深刻理解和有效運用轉換與化歸思想，在平時的學習中深刻地理解公理、定理、命題、公式和法則，注重知識模塊間的整合，善于挖掘它們之間的縱橫聯系，注重養成聯想和類比的習慣，形成發散性思維和逆向思維.

責任編校 賴慶安

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”