三角函數(shù)解題中六大典型易錯(cuò)問題及分析

三角函數(shù)很多試題的求解思路不難，但是由于三角函數(shù)具有公式多、性質(zhì)多、變化多等特點(diǎn)，若解題不全方位審清題意，充分挖掘隱含條件，會(huì)經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤.為此，本文將考生在解三角函數(shù)過程中出現(xiàn)的問題進(jìn)行了歸納與總結(jié)如下.

類型１ 忽視三角函數(shù)的有界性

類型2 忽視復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)

例 2求函數(shù)y=3sin( -3x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

類型3 忽視已知條件中產(chǎn)生的隱含條件

類型4 忽視三角代換后角的取值范圍

例4 求函數(shù)y= + 函數(shù)的值域.

類型5 忽視三角函數(shù)值本身產(chǎn)生的隱含條件

類型6 忽視三角形的內(nèi)角范圍

例6 在△ABC中，已知sinA= ，cosB= ，求cosC的值.

錯(cuò)解在△ABC中，∵cosB= ，∴B為銳角，且sinB= .又∵sinA= ，A可能為銳角也可能為鈍角.

(1)當(dāng)A為銳角時(shí)，cosA= ，∴cosC=cos［?仔-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=- · + · = .

(2)當(dāng)A為鈍角時(shí)，∴cosC=cos［?仔-(A+B)］=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-(- )· + · = .

故所求cosC的值 或 .

分析 上述解答看起來很全面，但忽視了已知條件“在△ABC中， 隱含有sinA＜sinB，則A必為銳角”.因?yàn)槿鬉為直角或鈍角，則B只能是銳角，即 ≤A＜?仔，∴0＜?仔-A≤ ，0＜B＜ .又sinA=sin(?仔-A)和sinA＜sinB，知sin(?仔-A)＜sinB.由函數(shù)y=sin x的單調(diào)性得：?仔-A＜B，即A+B＞?仔，這與A+B＜?仔矛盾，所以A必為銳角.

正解 ∵ sinA= ， ∴ A∈(0，?仔)，cosA=± =± =± .

綜上可知，解決三角函數(shù)問題時(shí)，除選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄍ猓诮忸}的過程中還要做到思考全面、推理嚴(yán)密，方能正確解題.

責(zé)任編校 賴慶安

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”