“韋達定理的應用”教學紀實與評析

（本課選自人教版九年義務教育四年制初級中學教科書《代數》第三冊§12.4第二小節.）

一、教學目標

1.通過本節課的學習，使學生進一步掌握韋達定理，并能巧妙靈活地利用韋達定理解決問題.

2.逐步培養學生的變式思維和發散思維.

3.激發學生的求知欲，提高其探索數學知識的積極性.培養學生一題多解、一題多變，善于思考問題本質的能力.

二、教學重點、難點

1.重點：對一類數學知識的拓寬和韋達定理的應用.

2.難點：靈活運用所學知識解決學習中遇到的問題.

三、教學過程

1.復習提問

師：同學們，你們學過韋達定理嗎？

生：（齊答）學過.

師：好！哪位同學能寫出定理呢？

（學生爭著舉手，熱情很高.）

生：韋達定理的內容是兩根之和等于一次項系數除以二次項系數的相反數，兩根之積等于常數項除以二次項的系數.

師：哪位同學有異議？（部分學生舉手.）

生：我認為前面同學說得不完整，韋達定理應這樣表述：一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的兩根分

師：好！這位同學表達得非常準確，請同學們一定要注意韋達定理只適用于一元二次方程.

師：韋達定理是初中代數中一個非常重要的定理.通過前面的學習，你認為韋達定理有哪些應用呢？（稍停片刻，找幾名學生口述.）

生：利用韋達定理可求值.

生：利用韋達定理可構造方程.

生：利用韋達定理可進行恒等變形.

師：同學們說得都很好.韋達定理除以上應用之外，這節課我們再來學習一下韋達定理在其他類型題上的應用.

[評析：通過對韋達定理的復習，能使學生進一步掌握韋達定理的基本內容，并使學生對韋達定理有一個初步的總結和歸納.從而很好地培養學生學習、總結、歸納的數學思想.]

2.新課過程

例1：已知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b.求：a+b的值.

師：我們分4個小組，然后每小組選一個代表談本組的做法.

（給學生5分鐘時間，班級很靜，給學生營造了很好的學習氣氛.）

第1組：我們組認為可分別求出a、b的值，然后再求a+b的值.

第2組:我組認為：a2-3a+1=b2-3b+1，∴a2-b2-3a+3b

=0，(a-b)(a+b-3)=0.∵a≠b，∴a+b-3=0.即：a+b=3.

第3組：我組認為：第一組雖然能求出a+b的值，但解方程不好解，特別是一元二次方程的系數比較大時，更不好解.（此時一個學生補充：方程還可能出現無解的情況，這時如何求a、b的值呢？所以我認為第2組的方法比較好.）

第4組：（學生迫不及待地發言）第2組的做法雖然很好，但也不是最好的.我組認為本題使用韋達定理會更簡捷、省時、省力.

師：（馬上把話接過來）第4小組的想法很有新意，下面請第4小組的代表到前面給同學板演一下，好不好？

生：（齊答）好！（這時學習氣氛非常高漲.）

第4組：我組通過觀察發現兩方程雖然未知數不同，但未知數的系數是相同的.又因為a≠b所以我們重新構建一個新的一元二次方程x2-3x+1=0 .由于該方程的判斷式Δ=5﹥0，∴該方程一定有兩個不相等的實數根，即 x1、x2.因此，我們就可以把a、b 看作是關于x的一元二次方程x2-3x+1=0 的兩個不等實根.根據韋達定理可知：a+b=3.

師：同學們贊同第4組的做法嗎？

生：同意.（齊聲答.）

[評析：教師提出問題后，以小組形式討論、研究把“競爭”意識引入課堂，充分體現了學生是學習的主人，教師是引導者、組織者、合作者的新的教學理念.]

師：第4組做法很好，很有新意.這種做法正是我們這節課的主題.

師：根據第4小組的做法，請同學們思考下面幾個問題.

①若要使用此類辦法，其兩個方程有何特點？

②為什么要加上條件a≠b.

（給學生5分鐘思考，然后討論.這樣讓學生帶著問題去思考，為下面學習做準備.）

生：我認為所給兩方程必須都是一元二次方程并且系數相同.

生：因為所給方程的“Δ”是大于0的，也就是說方程有兩個不等實數根，所以必須有a≠b的條件.

師：以上兩位同學說得非常好，下面我們看變式練習，以上條件均不變.

變式1：已知a2-3a+1=0，b2-3b+1=0，且a≠b. 求：a2b+ab2的值.（學生根據以上講解，很快利用韋達定理求出了值.）

A. x2+7x+1=0B. x2+7x-1=0

C. x2-7x+1=0 D. x2-7x-1=0

（學生口答，教師指正.）

3.歸納總結

（先由學生討論，教師歸納、總結寫在黑板一側.）

①兩方程的系數相同，根不同.

②在所求的代數式不能直接代入時，應進行恒等變形，然后代入.

③不要直接解一元二次方程.

[評析：通過上面的總結、討論，使學生在解決問題時有一種“水到渠成”的感覺，從而突出了本節的重點，為下面的教學分散了難點.]

4.引申教學

師：前面同學們已經做得很好了！我們知道兩個一元二次方程只要滿足“形式”即可使用韋達定理，那么如果所給兩個一元二次方程的形式不同，是否可以使用韋達定理加以解決呢？請看例題：已知：a2+2a-1=0，b2-2b-1=0且1-ab≠0.求：[]2008的值. 請同學們觀察，兩個方程的系數是否相同？

生：（齊答）不同.

師：那么此題是否還可以使用韋達定理解決呢？（這時，班級一片寂靜.）

師：好！下面請同學們前后座為一組進行討論.(給學生5分鐘的時間.)

生：老師，我認為不可以使用韋達定理，因為一次項的系數不同，這樣就無法構造一元二次方程.

生：我也同意上面的看法.

師：這位同學做得很好，他把方程1做了巧妙的變形，揭開了方程的表面現象，打破了我們的思維模式，形成了很好的發散思維，同學們應向他學習.(這時，班級爆發出一片掌聲.)

師：剛才那位同學對方程1進行了變形，得出了正確結論，請同學們思考把方程2變形是否可以呢？（學生紛紛舉手.）

師：這位同學做得也非常好.同學們，通過這道題你學到了什么呢？

生：我認為做題不能只看問題的表面現象.

生：我認為做題應根據題的不同恒等變形.

生：我認為在今后做題時要多思考，拓寬自己的知識面，挖掘問題的本質和內涵.

師：這些同學都談得非常好.下面看練習：

師：同學們能自行解決嗎？

生：可以把方程②兩邊都除以t2，然后按以上方法去做.

生：也可以把方程①兩邊都除以s2，然后按以上方法去做.

[評析：教師在引申教學中，教師不是“教”而是讓學生“論”.在教師的引導下 由淺入深、由一般到特殊，從而使學生深深體味到韋達定理的魅力所在，使學生在學習中享受成功的喜悅.很好地調動了學生學習數學的積極性，使他們在處理問題時能不斷的探究、發現.]

5.總結

師：同學們都做得很好.今后我們做題時要善于利用學過的知識，靈活解決學習中所遇到的問題，要做到這一點，必須在完全掌握了基礎知識的基礎上加以拓寬和延伸.這樣才能“揭開廬山真面目”，使我們所選擇的方法簡捷、明快，從而提高做題的速度和效率.

四、評析

學生是數學學習的主人.教師是學習的組織者、引導者和合作者. 孫老師在這節課的教學中，以韋達定理的應用為切入點，在整個教學過程中，教師始終以學生為中心，以引導、討論、研究、總結貫穿整個課堂.在知識的引申探究中，設置了深淺不同的類型題，引導學生在研究、討論中由淺入深、循序漸進、層層向上.使學生在已有經驗與知識的基礎上構造了一種新的數學學習模式——韋達定理的巧妙應用.激發學生的探究欲望，也領略了韋達定理的巧妙所在.

“數學課程標準”強調學生在學習數學知識和應用數學知識的同時，更應讓學生了解客觀世界由一般到特殊再由特殊到一般的變化規律.孫老師在教學中很好地突出了應用——總結——再應用——再總結的教學思想.

在本節課的教學中孫老師很好地引導了學生如何研究、發現問題，從而揭開“廬山真面目”.使學生在學會如何揭示問題本質同時，也培養了不斷探究的學習意識，對學生的身心發展不無裨益.