例談圓中常見兩解問題

由于圓具有對稱性，以及點、弦、角等元素在圓中位置的相對性.因此，在解答沒有給出圖形的圓的有關(guān)計算題時，就要仔細(xì)審題，周密思考，以防漏解.

一、有關(guān)點與圓的位置關(guān)系問題

例1:點P到⊙O的最大距離是8cm，最小距離是4cm，則⊙O的半徑是.

分析:題中并沒有說明點P與圓的位置關(guān)系，故需分點P在圓內(nèi)與點P在圓外兩種情況求解.

（如圖1）當(dāng)點P在圓內(nèi)時，由已知，得PA=4， PB=8.

（如圖2）當(dāng)點P在圓外時，由已知，得PA=4，PB=8.

綜上所述，⊙O的半徑為6cm或2cm.

二、有關(guān)平行弦問題

例2:已知四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接梯形，AB∥CD，AB=8，CD=6.⊙O的半徑等于5，求梯形ABCD的高.

分析:求圓內(nèi)接梯形的高就是求圓中兩條平行弦間的距離.

（如圖3）當(dāng)AB、CD在圓心的兩側(cè)時，過圓心O作EF⊥AB于E，交CD于F.

∵AB∥CD，∴EF⊥CD.

連結(jié)OA、OD，則△OAE、△ODF都是直角三角形.

∴梯形的高EF＝OE+OF=3+4=7.

（如圖4）當(dāng)AB、CD在圓心O的同側(cè)時，作OF⊥CD于F，交AB于E，連結(jié)OA、OD.

同理，求得OE＝3，OF＝4.

∴梯形的高EF＝OF－OE＝4-3＝1.

綜上所述，⊙O的內(nèi)接梯形ABCD的高為7或1.

三、有關(guān)公共弦問題

例3:⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，它們的半徑AO1=20，AO2=15，公共弦AB＝24，則△AO1O2的周長

為 .

分析:因為已知兩圓的半徑不等，所以，圓心可能在公共弦AB的兩側(cè)（如圖5），也可能在AB的同側(cè)（如圖6）.

分別在Rt△AO1C和Rt△AO2C中，由勾股定理求得O1C=16，O2C=9.

∴O1O2=16+9=25.

∴△AO1O2的周長為20+15+25＝60.

在圖6中，同理求得O1C=16，O2C=9.

∴O1O2=16－9=7.

∴△AO1O2的周長為20+15+7＝42.

綜上所述，△AO1O2的周長為60或42.

四、有關(guān)兩條弦的夾角問題

分析：連結(jié)OA，則弦AC、AD可能在半徑OA的兩側(cè)（如圖7），也可能在OA的同側(cè)（如圖8）.

在圖7中，連結(jié)OC.

∴∠OAD=30°.

∴∠CAD=∠CAO+∠OAD=45°+30°＝75°.

在圖8中，同理求得∠OAD=30°，∠OAC＝45°.

∴∠CAD=∠OAC－∠OAD＝45°-30°＝15°.

綜上所述，∠CAD等于75°或15°.

五、有關(guān)圓周角問題

例5 ：PA、PB是⊙O的切線，A、B是切點，∠APB＝78°，點C是⊙O上異于A、B的任意一點，則∠ACB=.

分析：如圖9，因為C是⊙O上異于A、B的任意一點，所以點C可能在優(yōu)弧AB上，也可能在劣弧 AB上.

當(dāng)點C在優(yōu)弧AB上時，連結(jié)OA、OB，則OA⊥PA，OB⊥PB.

又∠APB＝78°，

∴∠AOB＝360°-90°-90°-78°＝102°.

當(dāng)點C'在劣弧AB上時，四邊形AC'BC是圓內(nèi)接四邊形.

∴∠AC'B=180°-∠ACB＝180°-51°＝129°.

綜上所述，∠ACB等于51°或129°.

六、有關(guān)圓的相切問題

例6：以O(shè)為圓心的兩個同心圓的半徑分別9cm和5cm，若⊙A與這兩個圓都相切，則⊙A的半徑

為 .

分析：因為相切分內(nèi)切和外切兩種，所以⊙A可能與大圓內(nèi)切，與小圓外切（如圖10），也可能與兩個圓都內(nèi)切（如圖11）.

綜上所述，⊙A的半徑為2cm或7cm.