提升 探究 建構 拓展

“用比例知識解應用題”是小學數學人教版第12冊的總復習內容之一。通過復習要使學生提升對正、反比例意義的認識，進一步掌握用比例知識解應用題的方法，發展探究解決問題策略的能力，溝通“比例”、“方程”、“算術”不同解題方法之間的聯系，構建相應的知識結構。同時使學生初步感知世界是普遍存在聯系的，各種量之間存在相互依存、變化的關系。從而激發學生探究事物變化規律、學習數學的思想情趣。

一、回顧與提升

1．引導學生回顧比例知識。

（1）用投影儀出示兩個商品價格表，分別體現兩種數量的正、反比例關系。請同學們說說自己知道哪些比例知識，可以用自己喜歡的方式進行描述。以此喚醒學生體驗，為學生自主回顧知識提供廣闊的思考空間。

（2）學生匯報。鼓勵其用“多元”方式描述對比例知識的理解。如：列表舉例說明的方法、常見的數量關系式判斷的方法、呈現坐標圖像的方法、代數式的表示方法、概念闡述的方法等。學生將比例概念知識與“數量”、“圖像”、“字母符號”、“數學現象”等結合理解，為解決實際問題積累了較豐富的經驗、體驗。

（3）投影出示正、反比例概念。請同學們合作討論：發現了什么？

（4）總結。理清正、反比例的意義的共同點和不同點，認識到從“變量”中找到“不變（一定）量”的方法，“不變（一定）量”對“變量”進行判斷的作用。如：

二 、應用與探究

1．出示教科書中的例5：修一條公路，總長12千米。開工3天修了1.5千米，照這樣計算，修完這條公路還要多少天？（學生獨立嘗試、探究解答，首先用比例知識解答，然后用其他方法解答。）

2．全班討論交流。

（1）例5與以前學過的解比例應用題的不同點在什么地方？（稍復雜些，對應數量沒有直接給出。）

（2）結合正、反比例的意義說說例5的思考過程，分幾步進行，每步做什么。

歸納：基本可以分6步完成：理解數學事例、收集數量、梳理出兩種相關聯的數量和一種“一定量”、判斷成正或反比例、列式解題、檢驗和反思。

（3）結合例5說說每一步是怎樣完成的。

①理解數學事例：修路。

②收集數量信息。此題4條信息。其中兩條是顯性的：公路總長12千米、3天修了1.5千米；一條是隱性的：“照這樣計算”；一條是“未知性”的：修完這條公路還要多少天。重點引導學生討論“照這樣計算”隱含的數學信息是什么。再討論“還要多少天”的含義。

③梳理兩種相關聯的量和“定量”。引導學生聯系比例的意義進行探究、總結。首先研究梳理出兩種相關聯的量的策略。如：在原題上用符號劃分的方法。“12千米”、“1.5千米”是表示各自修路總長度的量，用符號“△ ”標記；“3天”、“還要多少天”是表示各自修路的天數，用符號“ ○ ”標記。還可以用列項摘記的方法：

修路總長度：1.5千米 （12-1.5）千米

修路天數：3天、還要多少（ x ）天

這些方法可以較直觀地看出修路總長度與修路天數是兩種變化的量。

再找“不變”的量。如，采用分析法，抓住關鍵數量信息，找出兩種相關聯的量變化的規律（積一定或比值一定），例5中的關鍵信息就是“照這樣計算”。還可以采用推測驗證方法，利用數量關系組群來推測出量的“變”與“不變”，如，例5中修路總長度、修路天數、每天修的路長就是一組數量關系。可以“由二推測一”，即，從修路長度和修路天數是兩種相關聯的量，來推測每天修的路長是不變的量；“由一推測二”，從每天修的路長是不變的量，來推測修路總長度和修路天數是兩種相關聯的量，且是正比例的關系。然后再用題目中的限定條件來驗證推測的正確與否。

④判斷。從一定（不變）量的規律判斷兩種相關聯的量的比例關系。可以將判斷的結果用正、反比例字母關系式的形式寫出來，便于列算式。這樣可以溝通字母抽象解析式與文字語言描述方式的聯系，也可以用文字描述。

⑤列式解答。引導學生特別關注兩種相關聯的量的“對應”條件。對于間接的數量條件要轉化為直接對應的數量條件。為此要找準轉化提示“點”。例5問題中的“還要多少天”就是這樣的“點”。另外，雖然用比例“模型”解應用題，但也要鼓勵學生追求合乎“模型”的不同解題思路，以利形成不同的解決問題的策略。

⑥檢驗、反思。啟發學生自主選擇檢驗方法。如：將結果代入原題、運用比例的基本性質、用算術方法或一般方程方法解答來檢驗等。反思，即引導學生及時總結自己的和吸納別人的數學思考、解決問題的策略等。

三、比較與建構

1.對學生列出的不同比例式進行比較。

例如：

（1）“照這樣計算”就是說每天修的路長度是一定的，所以修路長度和修路天數成正比例關系。

解：設修完這條路還要x天。

（2）“照這樣計算”就是說每千米的路長所需天數是一定的，所以修路天數和修路長度成正比例關系。

解：設修完這條路還要 x 天。

（3）每天修的路長度是一定的，所以修路長度和修路天數成正比例關系。因此，修路的長度擴大，所需要的天數也隨著擴大。

解：設修完這條路還要 x 天。

第（1）和第（2）式中對“照這樣計算”的數量信息從不同角度理解，找到不同的“一定量”。但是，修路天數與修路長度的正比例關系沒變。第（3）式是根據修路天數與修路長度成正比例的關系，這兩種量變化過程的特征來列式的。

這樣進行比較探究，可以培養學生多角度 、多層面應用比例知識解決問題，在比例知識“不變”的“模型”結構中追求“變”，另辟蹊徑，研究解決問題的多種策略，全面發展思維能力。

2.對“用比例”和與“用方程”解應用題的方法進行比較。

（1）引導學生明確二者的相互關系。其共同點：它們都是方程式，“用方程解”中包括“用比例解”。不同點：要求“用方程解”的題目可以“用比例解”，但是要求“用比例解”的題目，不能用一般方程的方法解。

（2）引導學生明確二者解決問題過程的思維、策略。“用比例解”必須按照比例知識“模型”來梳理數量信息。思維特點：對應思維——尋找數量信息的對應條件，抽象思維——歸納出兩種相關聯的量，邏輯思維——發現兩種相關聯的量變化特征，判斷思維——明確兩種相關聯量的比例關系。用比例知識解題思維更具深刻性、抽象性。用方程解題，主要從“等式”條件的需要出發梳理數量信息。思考過程以找等量關系為主。方程解法思維的靈活性、廣泛性較強。

3.對“用比例”與“用算術”解題方法進行比較。

通過比較，使學生體會“用比例”和“用算術方法”解題思維過程相反，即逆向思維與順向思維。“算術方法”沒有方程的“等式”要求，也沒有比例的“模型”的要求，思維過程更具靈活性、廣泛性。

“用比例解”、“用方程”、“用算術”方法解應用題，可以從不同角度、不同層面形成不同解決問題的策略，發展思維。建議學生用比例解題后，在檢驗環節中換一種方法解題，來進行驗證，可以“一舉多得”。

4．比較“用比例知識解”的應用題之間的異同。

（1）學生小組合作探究：教科書練習二十三1至5題 。比較這些可以用比例解的題目，題目的敘述方法有哪些共同的？不同的？

（2）交流。第一，題目內容涉及方面廣：社會（救災物資）、生活（蜂蜜）、校園（跳繩）、工廠（齒輪、零件）。引導學生體會現實世界處處存在數學現象及量與量之間的聯系變化。第二，這些題目的數量信息雖然以不同組合形式、不同順序呈現（例，略），但是對事物的語言描述結構都可以劃分為兩個層面（例，略）。這是為什么？引導學生將這些題目描述的數量關系與正、反比例意義進行對照理解。使學生感受現實世界中成比例關系的量與數學的比例“模型”之間的聯系。

通過“比較”教學環節，使學生構建起較系統的知識結構與解決問題的策略框架：理清了用比例解應用題的思維和尋找策略的方法，即從“變”中發現“不變（規律）”，用“不變（規律）”探索“變”；溝通了用“比例”、“方程”、“算術”不同方法解題思維及策略的聯系與區別；理解了“用比例解的應用題”結構特點與正、反比例意義的互為對應的聯系。

四、練習與拓展

1.大齒輪與小齒輪的齒數比是4：3。如果大齒輪有36個齒，小齒輪有多少個齒？如果這是相互咬合的齒輪，大齒輪轉動36周，小齒輪轉動多少周？（具有一定的挑戰性，首先用比例解，然后用其他方法解。）

2.結語。今天我們研究了事物兩種量之間的簡單變化規律，上了中學還要繼續研究，這是為中學學習函數積淀的一點感知。我們所生存的世界是運動的，有運動就有變化。數學思想博大精深。希望同學們學習用數學思想去探索事物的變化規律，有所發現、發明、創造、創新。

（作者單位:佳木斯市第十一小學 佳木斯市教育研究院）