淺談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的問題設(shè)計(jì)

陸潔清

江蘇省無錫高等師范學(xué)校 (214001)

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，“提出一個(gè)問題比解決一個(gè)問題更為重要”.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程是不斷提出問題、解決問題的過程.問題決定學(xué)習(xí)的方向、深度，問題提出的質(zhì)量決定學(xué)習(xí)的質(zhì)量，直接影響著教學(xué)效果與學(xué)生的思維方式.在教學(xué)中教師通過適時(shí)恰當(dāng)?shù)奶岢鰡栴}，給學(xué)生提問的示范，可使學(xué)生領(lǐng)悟發(fā)現(xiàn)和提出問題的藝術(shù)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的問題意識(shí)，孕育創(chuàng)新精神.

一、在知識(shí)形成過程的“關(guān)鍵點(diǎn)”上設(shè)問

對(duì)新知識(shí)的學(xué)習(xí)，不能只滿足于掌握知識(shí)的表面敘述，還特別要透過語言表述，掌握知識(shí)的內(nèi)在本質(zhì)特征.建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論主張：概念教學(xué)的重點(diǎn)并不在于概念本身，而在于建構(gòu)概念的整個(gè)過程，在于學(xué)生本人的思維構(gòu)造.通過學(xué)生主體探索，將新知識(shí)全方位的、多方面的與各種知識(shí)建立聯(lián)系的過程中獲得新知，從而在建構(gòu)概念的過程中獲得成功的心理體念，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性.在概念教學(xué)過程中，教師要精心設(shè)計(jì)問題，引導(dǎo)學(xué)生思維一步一步遞進(jìn)、完善，最終自己建構(gòu)概念的內(nèi)涵和外延.如：異面直線所成角的概念，可設(shè)計(jì)如下問題：

(1)教師用教具展示兩異面直線的關(guān)系，并要求學(xué)生回答變化過程中有什么區(qū)別?(大部分學(xué)生能回答“角”的大小在變化，這時(shí)啟發(fā)學(xué)生回顧初中角的定義)

(2)“角”是在一個(gè)平面內(nèi)的，而兩異面直線不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，如何將異面關(guān)系轉(zhuǎn)化成同一平面內(nèi)的相交關(guān)系呢?

(3)相交直線a′和b′所成的角的大小與點(diǎn)O的位置關(guān)系有關(guān)嗎?

(4)相交直線所形成的兩組對(duì)頂角都能為異面直線所成的角嗎?

通過上述問題的探究學(xué)生提出了概念的關(guān)鍵點(diǎn)：任取點(diǎn)，作平行線，銳角(或直角).學(xué)生自己能歸納出異面直線所成的角的概念：a,b是兩條異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，作直線a′∥a,b′∥b，我們把直線a′和b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a、b所成的角.

二、在知識(shí)之間聯(lián)系的“聯(lián)結(jié)點(diǎn)”上設(shè)問

學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)的過程，實(shí)質(zhì)上是在舊知基礎(chǔ)上，通過同化與順應(yīng)構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，在新舊知識(shí)的聯(lián)結(jié)點(diǎn)處精心設(shè)計(jì)問題，可以引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，在舊有知識(shí)的啟發(fā)下，通過自主探究獲得新知識(shí)，并在獲得新知的過程中提升能力.類比是尋找兩類事物聯(lián)系的有效辦法，對(duì)于兩個(gè)相似或相近的知識(shí)點(diǎn)，利用類比法教學(xué)會(huì)收到較好的效果.

在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中，指數(shù)與對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)、平面角與二面角、等差數(shù)列與等比數(shù)列、排列與組合、橢圓，雙曲線與拋物線、余弦函數(shù)與正弦函數(shù)、余切函數(shù)與正切函數(shù)、平面向量與空間向量、點(diǎn)點(diǎn)之間的距離，點(diǎn)線之間的距離，線線之間的距離與點(diǎn)面、線面和面面間的距離等概念，都是相似或相近的概念，在教學(xué)中，教師要盡量選取學(xué)生熟悉的、研究內(nèi)容和方法上相近的知識(shí)作為類比對(duì)象幫助學(xué)生學(xué)習(xí)新的知識(shí).例如：學(xué)習(xí)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)前，學(xué)生已學(xué)習(xí)了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，初步掌握了通過曲線方程研究曲線性質(zhì)的基本思想方法.教學(xué)《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》時(shí)，可先引導(dǎo)學(xué)生回顧如下問題：我們是從哪些方面研究橢圓的簡單幾何性質(zhì)的?這些性質(zhì)分別是怎樣研究的?分別得出了怎樣的結(jié)論?這樣的設(shè)問：使學(xué)生尋找到恰當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象，既能使學(xué)生找到解決問題的思想方法也強(qiáng)調(diào)了知識(shí)之間的聯(lián)系與結(jié)構(gòu)，從而逐步完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu).

又如，在教學(xué)三棱錐體積公式時(shí)可設(shè)置如下問題：平面幾何中類似的課題是什么?那時(shí)是如何解決的?求三棱錐的體積的思路可能是怎樣的?這樣的設(shè)問：使學(xué)生尋找到恰當(dāng)?shù)念惐葘?duì)象，并回顧其解決過程.通過類比求三角形面積的思路：(1)把三角形補(bǔ)成同底等高的平行四邊形；(2)把平行四邊形分解成面積相等的兩個(gè)三角形.可使學(xué)生猜想出求三棱錐體積的思路：(1)把三棱錐補(bǔ)成同底等高的三棱柱；(2)把三棱柱分割成體積相等的三個(gè)三棱錐.這樣的設(shè)問既能使學(xué)生找到解決問題的思想方法也強(qiáng)調(diào)了知識(shí)的聯(lián)系與結(jié)構(gòu).

三、在解決問題策略的“關(guān)節(jié)點(diǎn)”上設(shè)問

在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們要以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)，尋找解決問題的策略，在教學(xué)中我們要利用類比、猜想、化歸等思想方法精心設(shè)計(jì)問題.使學(xué)生親歷概念的形成過程，定理公式的發(fā)現(xiàn)過程以及解題思路的探索過程，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.

例如，證明：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等.

先把問題符號(hào)化：已知∠BAC和∠B1A1C1的邊AB∥A1B1，AC∥A1C1，并且方向相同.求證：∠BAC=∠B1A1C1.

這是立體幾何中的一個(gè)定理，可設(shè)置以下問題來引導(dǎo)學(xué)生探索它的證明思路.

1.要證明兩個(gè)角相等，常用的方法有哪些?(大多數(shù)學(xué)生都能想到：可通過構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，來證明兩個(gè)角相等.)

2.如何構(gòu)造兩個(gè)全等的三角形呢?(大多數(shù)學(xué)生都能想到：在∠BAC和∠B1A1C1的兩邊上分別截取AD=A1D1，AE=A1E1，連結(jié)DE，D1E1)

3.如何證明△ADE與△A1D1E1全等呢?(大多數(shù)學(xué)生都能想到只要證明DE=D1E1)

4.在圖中DE與D1E1間并沒有直接聯(lián)系，如何證明它們相等?你利用條件了嗎?(大多數(shù)學(xué)生都能根據(jù)AB∥A1B1，AC∥A1C1得出：AD與A1D1，AE與A1E1平行且相等)

5.有兩條線段平行且相等你能得到什么結(jié)論?(大多數(shù)學(xué)生都能想到以這兩條線段為對(duì)邊的四邊形為平行四邊形，于是自然想到連結(jié)A與A1，D與D1，E與E1.最后通過證明四邊形DEE1D1是平行四邊形得到：DE=D1E1)

四、在數(shù)學(xué)問題變式的“發(fā)散點(diǎn)”上設(shè)問

創(chuàng)造心理學(xué)研究表明：思維的發(fā)散性是影響創(chuàng)新思維的重要因素.思維越發(fā)散，則思維的創(chuàng)新性就越強(qiáng).通過“變式”，可使學(xué)生從不同的角度去觀察事物，思考問題，深化理解概念；可使學(xué)生變換信息的表達(dá)方式，豐富對(duì)問題的認(rèn)識(shí)，將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，將陌生問題轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡單的或已經(jīng)解決的問題；可使問題“開放”、“發(fā)散”，往往能使學(xué)生的認(rèn)識(shí)逐步深化，思維從單一走向多向.因此在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題作多層面、多角度的變式與探究；有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)不變的本質(zhì)，從不變中探求規(guī)律.逐步培養(yǎng)學(xué)生靈活多變的創(chuàng)新思維品質(zhì)，完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題和探索創(chuàng)新的能力.

對(duì)于一些典型問題解決后，改變?cè)}的結(jié)構(gòu)或作適當(dāng)?shù)囊辏墒挂活}變一串，更重要的是把問題向更高、更廣的層次縱向挖掘，橫向延伸，需要學(xué)生更廣、更深的思考，這樣有利于學(xué)生拓展思路，提高應(yīng)變能力.由一個(gè)基本問題拓展到多個(gè)問題的模式為：

例如高二解析幾何教材上有這樣一道習(xí)題：在橢圓x245+y220=1上求一點(diǎn)，使它與兩個(gè)焦點(diǎn)的連線互相垂直.

這是一道考查橢圓概念和性質(zhì)的基本題，

是許多高考題的原型，很具研究價(jià)值，可引導(dǎo)學(xué)生作進(jìn)一步的探究得出下列問題：

問題1 設(shè)橢圓x245+y220=1的焦點(diǎn)為F1、F2，在橢圓上是否總能找到這樣的點(diǎn)P(x0,y0),使∠F1PF2分別為銳角和鈍角.(通過討論得到：當(dāng)x0<-3或x0>3時(shí)，∠F1PF2為銳角；當(dāng)-3

問題2 在橢圓x245+y220=1上是否總能找到這樣的點(diǎn)，使它與M1(-m,0)、M2(m,0)(m>0)的連線互相垂直.(當(dāng)25≤m<35時(shí)，這樣的點(diǎn)才存在)

問題3 在橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)上是否總能找到這樣的點(diǎn)，使它與兩個(gè)焦點(diǎn)的連線互相垂直.(當(dāng)c>b，即a>2b時(shí)，這樣的點(diǎn)有4個(gè)；當(dāng)c=b，即a=2b時(shí)，這樣的點(diǎn)有2個(gè)；當(dāng)c

問題4 把橢圓變?yōu)殡p曲線呢?拋物線是否也有類似的性質(zhì)?一般的圓錐曲線呢?

(對(duì)于雙曲線這樣的點(diǎn)有4個(gè)，由于拋物線只有一個(gè)焦點(diǎn)，為此把焦點(diǎn)關(guān)于頂點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)想象為一個(gè)“虛”焦點(diǎn)，用類似的方法也能得出這樣的點(diǎn)必存在，且共有兩個(gè).)

通過上述探究，可得出以下結(jié)論：對(duì)于離心率e不小于22的圓錐曲線，這樣的點(diǎn)總存在.

五、在學(xué)生思維的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)設(shè)問

維果茨基將兒童發(fā)展水平分為：現(xiàn)有水平、潛在水平和介于這兩者之間的“最近發(fā)展區(qū)”.數(shù)學(xué)思維的教學(xué)應(yīng)從學(xué)生思維的潛在水平開始，通過教學(xué)把潛在水平轉(zhuǎn)化為新的現(xiàn)有水平，在新的現(xiàn)有水平的基礎(chǔ)上，又出現(xiàn)新的思維潛在水平，并形成新的思維最近發(fā)展區(qū).這種循環(huán)往復(fù)不斷轉(zhuǎn)化和思維的發(fā)展區(qū)層次逐步形成的過程，就是學(xué)生不斷積累知識(shí)和推動(dòng)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的過程.“好問題”是“學(xué)生跳一跳能摘到好果子”，它要在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)，在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的問題才能形成認(rèn)知沖突、激發(fā)求知欲、激活思維.

例如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)可設(shè)計(jì)如下問題：

學(xué)生知道高斯算法(現(xiàn)有水平)：

問題1 1+2+3+…+100=?

1+2+3+…+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=50×(1+100)=1002×(1+100)=5050.

問題2 上面的問題可以看成是等差數(shù)列：1，2，3，…，100的前100項(xiàng)之和.在上述求解過程中你發(fā)現(xiàn)了什么?

學(xué)生能回答(一個(gè)新的現(xiàn)有水平)：所求和可用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)n來表示，且任意的第k項(xiàng)與倒數(shù)第k項(xiàng)的和都相等，都等于首項(xiàng)與末項(xiàng)的和.

問題3 一個(gè)一般的等差數(shù)列{a璶}的前n項(xiàng)和S璶能否用首項(xiàng)、末項(xiàng)及項(xiàng)數(shù)表示呢?

在這樣的特例啟發(fā)下，學(xué)生容易將問題轉(zhuǎn)化為(一個(gè)新的潛在水平)：S璶=(a1+a璶)+(a2+a﹏-1)+(a3+a﹏-2)+…

從而又形成了一個(gè)新的“最近發(fā)展區(qū)”，然后，教學(xué)又從新的潛在水平開始.