利用函數教學，培養學生數學地學習數學意識的幾點思考

陳久貴　邵賢虎

江蘇省江浦高級中學 (211800)

按照新課程計劃，學生從初中跨入高中學習，首先用一個學段(半個學期)的時間學習必修1，而必修1的主要內容是函數.一方面，在學生初中已學過函數知識的基礎上，如何通過教學深化對函數的理解；另一方面，這個學段是面臨初高中學習方法銜接的首個學段，如何以函數教學為載體，加強對學生學習方法的指導，培養學生數學地學習數學的意識，獲取數學地學習數學的本領，為后續模塊的學習打下良好的基礎顯得尤為重要.這兩個方面的問題是我們廣大一線教師不得不認真思考的問題.結合自己的教學實踐，筆者就后一個問題談幾點思考，以期賜教.

一、用好符號語言

數學的發展已經充分證明正確合理地使用形象、簡潔的數學符號語言能夠凸現數學問題的本質，能使復雜的問題變得簡單、明了.由此可知學生要學好數學，首先應學會用好數學符號語言.所以通過函數的教學，在初中用字母表示數的基礎上，應進一步引領學生認識數學符號語言出現的必然性以及給數學的發展所帶來的概括性、簡潔性，這既是培養學生思維由具體到抽象的需要，也是培養學生數學表達與交流能力的需要.例如函數概念由初中的變量說發展到高中的對應說，就應指導學生用數學符號語言y=f(x)表示函數，用f(a)表示當x=a時函數y的值，以此讓學生感悟數學符號語言的概括性與簡潔性.在此基礎上再通過函數性質的教學，指導學生合理地把初中用文字語言描述的性質用數學符號語言來精確地表述.如函數的單調性在初中只是用文字語言表述成函數圖像的上升(下降)，而到了高中應使學生明白用數學符號語言“x1f(x2))”簡潔地表示.總而言之，教學中應通過函數中大量出現的用數學符號語言表示的諸如分段函數、指數、對數、指數函數、對數函數與冪函數等知識，培養學生用好數學符號語言的意識.

二、揭示概念本質

數學中的概念、定理與公式是數學知識體系中最基本、也是最重要的組成部分.概念有內涵和外延，概念的內涵就是這個概念所反映事物的本質屬性的總和，而概念的外延就是這個概念所涉及的范圍.在數學概念中，有的抽象，有的單調枯燥且文字冗長.基于學生在初中對概念的學習采用接受、記憶的成份要大于理解、領悟的成份這一背景，到了高中如何幫助學生加強對概念的學習，如何幫助學生理解概念、領悟概念，關鍵在于指導學生突出概念的本質特性，抓住概念中最能體現本質特征的關鍵詞語，努力培養學生揭示概念本質的意識，以此幫助學生強化基礎.例如在函數概念教學中，首先指導學生從一些不同情境的實際問題中概括出這些實際問題的共同特性然后逐步歸納出函數概念.在此基礎上指導學生從多個角度理解函數概念：函數是一種重要的數學模型，用來描述客觀世界兩變量相互聯系、相互依存的變化規律；函數的表示不僅可用解析式表示，而且還可以用表格、圖像直觀地表示.由此揭示函數概念的本質；函數是兩個變量之間的一種特殊的對應關系，即每一個自變量x的值，都對應唯一的因變量y的值.從這里不難看出，培養學生揭示概念本質的意識，一是讓學生經歷概念的發生與形成過程(從實際問題中概括出本質特性，歸納出概念)；二是指導學生仔細閱讀概念，從多個角度理解概念，提煉出概念中的關鍵詞語(如函數概念中“每一個”、“唯一”等關鍵詞語)，幫助學生透徹領悟概念.

三、善于列舉反例

數學的發展離不開反例的作用，同樣學生學習數學也不容忽視反例的功能.在高中數學學習中，通過反例來澄清一些認識上的誤區，加深對概念、性質與定理的理解有著十分重要的作用.由于學生在初中階段接觸反例較少，因此在高中數學學習中應不失時機地培養學生舉反例的意識，而函數的教學就有此獨特的功能.例如，在研究函數的單調性時，有些函數的單調增(減)區間不止一個，為什么不能用并集符號把它們“并”起來，而要將它們分開表達，學生認識不清.此時可通過反例來幫助學生進行理解.如f(x)=1x在(-∞，0)，(0，+∞)上是減函數，那么單調減區間為什么不能表示成(-∞,0)∪(0,+∞)?此時可舉反例：x1=-1,x2=1，顯然x1

四、掌握認識規律

事物的發展總是有著它的規律性，人們認識事物基本是循著這樣的規律去進行：這個事物是什么，它有著什么樣的特性；這個事物與其它事物有著怎樣的內在聯系；這個事物有哪些用途，利用它能解決哪些問題等等.事實上高中數學教材每一章(節)的內容大都是按照這樣的方式來呈現相關的內容：這一章(節)中出現的新的概念是怎樣定義的，它有哪些性質；這個概念所涵蓋的知識與數學中的其它知識有著怎樣的內在聯系；最后再研究這些知識的應用.綜上所述，人們認識事物的這一基本規律，教材中呈現知識的這一結構方式，需要我們廣大教師不失時機地從學生進入高中開始就向他們潛移默化進行滲透.學生一旦掌握了認識事物的基本規律，就能主動地去認識新事物，就能信心十足地投入到數學學習中去；學生一旦有了提煉每章(節)知識結構的意識與方法，就能自覺地去編織每章(節)的知識網絡，就能有序地把課本中的知識納入到自己的知識結構中去，變課本知識為“我”的知識.長此下去，他們的基礎知識就會更加扎實，學習起來信心也將更加充足.例如在函數第1節函數概念與圖像教學結束時，筆者要求學生小結本小節學習的內容，同學們大都很快地按照概念——性質——圖像(數與形的聯系)——應用這一規律構建出知識框架，并能用自己的語言說出每一塊的具體內容；再例如在學習指數函數前，筆者曾問學生：按照你的認識規律，你能說說指數函數我們該研究哪些內容嗎?不少學生都能說出：概念、性質、圖像、應用.在對數函數的教學時，筆者干脆讓學生循著這樣的規律去自主學習、合作交流，教師僅僅在個別地方作了點撥，同學們不僅學習的積極性很高，而且學習的效果十分明顯.

五、注重化歸思想

化歸的實質是把陌生的問題轉化為已經解決的或熟悉的問題來處理，把復雜的問題轉化為簡單的問題來解決.因此化歸的方法是人們解決問題的一種方法，更是處理數學問題的一種基本策略.所以，在函數教學中可結合教學內容向學生滲透化歸的方法，以培養學生化歸的意識.(1)等價化歸.例如，在對數的教學中，應指導學生抓住指數式a琤=N(a>0且a≠1)與對數式b=玪og璦N的等價性，把對數運算法則的研究化歸為自己已經熟悉的指數的運算進行處理；再例如求函數y=f(x)的零點，從“數”的角度可以等價化歸為求方程f(x)=0的實根；從“形”的角度可以等價化歸為求函數y=ゝ(x)的圖像與x軸的交點.(2)未知化歸為已知.如對于一些函數模型的實際應用問題，應指導學生弄清題目中所敘述的實際問題的意義，接受題目所約定的臨時性定義，理解題目中量與量之間的位置、數量等各種關系，領悟其中的數學本質，進而指導學生把實際問題用字母符號、關系符號表示出來，建立函數模型，再化歸為已熟悉的函數問題來解決.(3)特殊化歸為一般.如映射概念的教學可從特殊的映射——函數入手，再來指導學生建立一般映射的概念，這樣學生學起來，既不感到抽象，又容易記得牢.學生一旦有了化歸的意識，就有了解決問題的一種基本方法.事實上解決數學問題的各種數學思想方法，實質上都是數學模式之間進行化歸的一種手段.

六、勇于數學探究

新課程標準指出：學生的數學學習活動不應只限于接受、記憶、模仿和練習，還應倡導自主探索、動手實踐等學習數學的方式.數學探究既是高中數學課程引入的一種新的學習方式，也是新課程的重要理念.因此在函數教學中，在力所能及的前提下，應努力培養學生數學探究的意識.例如在函數概念教學中，可以設計這樣的探究性課題，已知一個函數f(x)的值域為［0，4］，則這樣的函數有多少個?試寫出其中的兩個函數.通過這樣的探究，不僅培養了學生自主探索、動手實踐的意識，而且使學生對函數概念涉及的三要素定義域、對應法則、值域有了更深入的了解.再例如：在函數概念與圖像這一小節學習結束后，筆者出了這樣一道開放性課題：利用你所學的知識研究函數f(x)=x+1x(x≠0)的性質.在研究函數的單調性時，同學們都知道利用對稱性化歸為著重研究函數f(x)在區間(0，+∞)上的單調性.為此設00)到直線l:y=x的距離為d=22x(見右圖，下同)，并指出隨著x的增大，d的值越來越小；在此基礎上還有的課題小組得出這樣的結論：過點P作PM⊥l，垂足為M，作PN⊥y軸，垂足為N，則PM?PN=22，并求出了四邊形OMPN的面積解析式為S=12x2+14x2+1,……

學生從初中進入高中學習，不僅要幫助他們理解概念、掌握知識，還要培養他們良好的學習習慣，更重要的是培養他們數學地學習數學的意識.由于函數的內容與初中有著密切的聯系，這也為通過函數的教學，培養學生數學地學習數學的意識提供了平臺.需要指出的是，培養

學生數學地學習數學的意識，還涉及其它方面，教學中要結合學生的認知規律、心智特點，有所選擇、有所側重，務求循序漸進、水到渠成.

參考文獻

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