幾個幾何定理的純幾何證明

令　標

《中學數學雜志》(初中)2008年第2期刊載的“從一道美國數學競賽題引出的一組幾何定理及代數證法”一文(下稱文[1])，由一道美國數學競賽試題經探索、整合，得到了幾個新穎有趣、耐人尋味的幾何定理，閱后很受啟發. 由于這幾個幾何定理的獨特風格和豐富的內涵，頗顯其思考性，而引人入勝. 缺感的是文[1]的代數證法冗長繁瑣，不夠簡約，有失純幾何方法的風采、韻味，并非是“定理的證明用代數法解決更妙”(文[1]). 筆者經思索、探究，得到了文[1]中四個定理的淺顯、簡明、別致的純幾何證法，現介紹如下，供讀者參考(為方便計，定理順序同文[1]).

定理1 已知：如圖1，在以AB為直徑的半圓中，正方形CDEF內接于半圓，正方形CGHK內接于△BCF，且邊CG在AB上，求證：AC=CG.

分析 由對稱性，易知AC=BD.

由射影定理(或相交弦定理的推論)，得CF2=AC·BC.

又CF=CD，BC=CD+BD=CD+AC，得CD2=AC(CD+AC)，即AC2+CD·AC=CD2.①

由AC=BD，知AG=BG.故點G是半圓的圓心.

參考文獻

[1] 曾恒忠，白方奎等. 從一道美國數學競賽題引出的一組幾何定理及代數證法[J].中學數學雜志(初中).2008，(2).

作者簡介：令標，男，1962年11月生，中學高級教師，主要從事數學教學及解題研究，已在多家中學數學期刊發表文章數十篇.

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