解讀中考數學中的雙動點問題

王鳳學

點動、線動、形動構成的問題稱之為動態幾何問題. 它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，集多個知識點為一體，集多種解題思想于一題. 這類題綜合性強，能力要求高，它能全面的考查學生的實踐操作能力，空間想象能力以及分析問題和解決問題的能力. 其中以靈活多變而著稱的雙動點問題更成為今年中考試題的熱點，現采擷幾例加以分類淺析，供讀者欣賞.

1 以雙動點為載體，探求函數圖象問題

例1 (2007年杭州市)在直角梯形ABCD中，∠C=90°，高CD=6cm(如圖1). 動點P，Q同時從點B出發，點P沿BA，AD，DC運動到點C停止，點Q沿BC運動到點C停止，兩點運動時的速度都是1cm/s. 而當點P到達點A時，點Q正好到達點C. 設P，Q同時從點B出發，經過的時間為t(s)時，△BPQ的面積為y(cm)2(如圖2). 分別以t，y為橫、縱坐標建立直角坐標系，已知點P在AD邊上從A到D運動時，y與t的函數圖象是圖3中的線段MN.

(1)分別求出梯形中BA，AD的長度；

(2)寫出圖3中M，N兩點的坐標；

(3)分別寫出點P在BA邊上和DC邊上運動時，y與t的函數關系式(注明自變量的取值范圍)，并在圖3中補全整個運動中y關于x的函數關系的大致圖象.

評析 本題將點的運動過程中形成的函數解析式與其相應的函數圖象有機的結合在一起，二者相輔相成，給人以清新、淡雅之感. 本題彰顯數形結合、分類討論、函數建模與參數思想在解題過程中的靈活運用. 解決本題的關鍵是從函數圖象中確定線段AB、梯形的高與t的函數關系式，建立起y與t的函數關系式，進而根據函數關系式補充函數圖象.

2 以雙動點為載體，探求結論開放性問題

例2 (2007年泰州市)如圖5，Rt△ABC中，∠B=90°，∠CAB=30°.它的頂點A的坐標為(10，0)，頂點B的坐標為(5，53)，AB=10，點P從點A出發，沿A→B→C的方向勻速運動，同時點Q從點D(0，2)出發，沿y軸正方向以相同速度運動，當點P到達點C時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒.

(1)求∠BAO的度數.

(2)當點P在AB上運動時，△OPQ的面積S(平方單位)與時間t(秒)之間的函數圖象為拋物線的一部分，(如圖6)，求點P的運動速度.

(3)求(2)中面積S與時間t之間的函數關系式及面積S取最大值時點P的坐標.

(4)如果點P，Q保持(2)中的速度不變，那么點P沿AB邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而增大；沿著BC邊運動時，∠OPQ的大小隨著時間t的增大而減小，當點P沿這兩邊運動時，使∠OPQ=90°的點P有幾個?請說明理由.

解 (1)∠BAO=60°.

(2)點P的運動速度為2個單位/秒.

評析 本題是以雙點運動構建的集函數、開放、最值問題于一體的綜合題. 試題有難度、有梯度也有區分度，是一道具有很好的選拔功能的好題. 解決本題的關鍵是從圖象中獲取P的速度為2，然后建立S與t的函數關系式，利用函數的性質解得問題(3).本題的難點是題(4)，考生要從題目的信息中確定建立以B為直角頂點的三角形，以B為臨界點進行分類討論，進而確定點的個數問題.

3 以雙動點為載體，探求存在性問題

例3 (2007年揚州市)如圖8，矩形ABCD中，AD=3厘米，AB=a厘米(a>3).動點M，N同時從B點出發，分別沿B→A，B→C運動，速度是1厘米/秒.過M作直線垂直于AB，分別交AN，CD于P，Q.當點N到達終點C時，點M也隨之停止運動.設運動時間為t秒.

(1)若a=4厘米，t=1秒，則PM=厘米；

(2)若a=5厘米，求時間t，使△PNB∽△PAD，并求出它們的相似比；

(3)若在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a的取值范圍；

(4)是否存在這樣的矩形：在運動過程中，存在某時刻使梯形PMBN，梯形PQDA，梯形PQCN的面積都相等?若存在，求a的值；若不存在，請說明理由.

評析 本題是以雙動點為載體，矩形為背景創設的存在性問題.試題由淺入深、層層遞進，將幾何與代數知識完美的綜合為一題，側重對相似和梯形面積等知識點的考查，本題的難點主要是題(3)，解決此題的關鍵是運用相似三角形的性質用t的代數式表示PM，進而利用梯形面積相等列等式求出t與a的函數關系式，再利用t的范圍確定的a取值范圍. 第(4)小題是題(3)結論的拓展應用，在解決此問題的過程中，要有全局觀念以及對問題的整體把握.

4 以雙動點為載體，探求函數最值問題

例4 (2007年吉林省)如圖9，在邊長為82cm的正方形ABCD中，E、F是對角線AC上的兩個動點，它們分別從點A、C同時出發，沿對角線以1cm/s的相同速度運動，過E作EH垂直AC交Rt△ACD的直角邊于H；過F作FG垂直AC交Rt△ACD的直角邊于G，連結HG、EB.設HE、EF、FG、GH圍成的圖形面積為S1，AE、EB、BA圍成的圖形面積為S2(這里規定：線段的面積為0).E到達C，F到達A停止.若E的運動時間為x(s)，解答下列問題：

(1)當0

(2)①若y是S1與S2的和，求y與x之間的函數關系式； (圖10為備用圖)

②求y的最大值.

解 (1)以E、F、G、H為頂點的四邊形是矩形，因為正方形ABCD的邊長為82，所以AC=16，過B作BO⊥AC于O，則OB=89，因為AE=x，所以S2=4x，因為HE=AE=x，EF=16-2x，所以S1=x(16-2x)， 當S1=S2時， 4x=x(16-2x)，解得x₁=0(舍去)，x₂=6，所以當x=6時， S1=S2.

(2)①當0≤x<8時，y=x(16-2x)+4x=-2x2+20x，

當8≤x≤16時，AE=x，CE=HE=16-x，EF=16-2(16-x)=2x-16，

所以S1=(16-x)(2x-16)， 所以y=(16-x)(2x-16)+4x=-2x2+52x-256.

②當0≤x<8時，y=-2x2+20x=-2(x-5)2+50，所以當x=5時，y的最大值為50.

當8≤x≤16時，y=-2x2+52x-256=-2(x-13)2+82，

所以當x=13時，y的最大值為82.

綜上可得，y的最大值為82.

評析 本題是以雙動點為載體，正方形為背景創設的函數最值問題.要求學生認真讀題、領會題意、畫出不同情況下的圖形，根據圖形建立時間變量與其它相關變量的關系式，進而構建面積的函數表達式. 本題在知識點上側重對二次函數最值問題的考查，要求學生有扎實的基礎知識、靈活的解題方法、良好的思維品質；在解題思想上著重對數形結合思想、分類討論思想、數學建模等思想的靈活運用.

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