試論數學理解的內涵及教學要求

摘 要：從靜態的角度分析，數學理解的本質應當是數學知識的結構化、網絡化和豐富聯系；從動態的角度分析，數學理解是數學認知結構建構和知識意義建構的過程。從社會情境角度分析，學生數學學習與數學理解的最終目的，是對數學知識賴以萌發和應用的共同體文化的適應。為了促進學生的數學理解，數學教學設計要重視學生原有知識經驗及數學活動體驗，要重視營造促進數學理解的教學情境，要適度提供豐富的感性材料，要合理運用變式教學，要重視信息技術手段的優化運用，要切實幫助學生實現知識系統化，要指導學生自我反思與提問，要不斷增強學生數學交流的意識，努力培養他們在生活中應用數學的能力。

關鍵詞：數學理解；教學要求；設計

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：A文章編號：1009-010X（2008）01-0043-03

數學理解是數學課程與教學存在的方式，是學生數學學習過程的重要環節，也是掌握、運用數學知識，提高數學能力的關鍵。本文擬初步探討數學教學中數學理解的內涵，并據此提出理解性數學教學的若干要求。

一、數學理解的內涵分析

從靜態的角度分析，數學理解的本質應當是數學知識的結構化、網絡化和豐富聯系，對此，可照參的表述有：“一個數學的概念或方法或事實被理解了，如果它成了內部網絡的一個部分。更確切地說，數學被理解了，如果它的智力表示成了表示網格的部分。”（Hiebert，Carpenter）[1]“學習一個數學概念、原理、法則，如果在心理上能組織起適當的有效的認知結構，并使之成為個人內部的知識網絡的一部分，那么才說明是理解了。”（李士锜）[2]“數學理解是學習者先認識數學對象的外部表征，構建相應的心理表象，然后在建立新舊知識聯系的動態過程中，打破原有的認識平衡，將數學對象的心理表象進行改造、整理、重組，重新達到新的平衡，以便抽取數學對象的本質特征及規律，從而達到對數學對象的理解。”（陳瓊）[3]根據上述這些觀點，我們對數學理解的本質、特征、形成機制與形成條件可以有一個全面的認識：就本質而言，對數學知識形成深刻的、真正的理解往往意味著學習者所獲得的知識是結構化的、整合的，而不是零碎的、只言片語的，應當關注數學知識的結構化、網絡化和豐富聯系；就特征而言，所有復雜的數學概念、數學命題都可以在一定層面上、以完全不同的方式被理解，知識的高度結構化、網絡化能使已有的理解不斷拓展、深化，知識的運用能使相關的各種聯結更加豐富化、牢固化，因此，數學理解應當具有生成性和發展性；就形成機制而言，它應當重視重新組織，因為，隨著重新組織產生更豐富、更具強有力聯系的、更有凝聚力的網絡，數學理解就獲得了增長；就形成條件而言，它應當重視數學活動主體的自主活動，這種自主活動既包含外部的操作性活動，又包括內在的思維性活動。

從動態的角度分析，數學理解是數學認知結構建構和知識意義建構的過程。事實上，數學知識的理解與數學知識的表征（指知識在學習者頭腦中的呈現和表達方式）密切相關。根據數學知識的特征，數學知識通常可分為結果性知識和過程性知識。結果性知識包括陳述性知識、智慧技能和認知策略。過程性知識是伴隨數學活動過程的體驗性知識，分為對知識產生、發展、結果和應用的體驗這四個階段，是一種內隱的、動態的知識。正是從這樣的角度分析，黃燕玲等人認為：“對一個事物本質的理解，就是指該事物的性質以一定的方式在學習者頭腦中呈現并能迅速提取。數學理解就是對數學知識的正確、完整、合理的表征，應該涵蓋對陳述性知識、程序性知識以及過程性知識的理解等三個方面。圖式的獲得、產生式系統的建構、關系和觀念表征的完善分別是陳述性知識理解、程序性知識理解、過程性知識理解的本質。”[4]~[5]

從社會情境角度分析，學生數學學習與數學理解的最終目的，是對數學知識賴以萌發和應用的共同體文化的適應，這是因為，從社會角度看，學習是一個社會性的過程，它并非僅僅發生在個體內部，也不是一個行為的消極形成過程。只有當個體積極參與到社會活動中時，有意義的學習才能發生；從情境角度看，知識是基于社會情境的一種活動，而不是一個抽象具體的對象；知識是個體與環境交互過程中建構的一種交互狀態，不是事實；知識是一種人類協調一系列行為，去適應動態變化發展的環境的能力。數學理解的社會情境觀表明，通過數學學習共同體特定的數學活動情境，借助數學學習共同體逐漸積累的、獨特的數學洞察力以及數學文化感悟，學生在交互性、社會性的真實活動中學習和運用數學概念，并于其中不斷發展數學概念，通過這種方法獲得的數學概念、法則要比所謂的一般性數學概念、法則更有力、更有用、更具理解力。

二、數學理解的教學要求

1．要重視學生原有知識經驗及數學活動體驗。在數學教學過程中，要引導學生把新舊知識聯系起來，努力實現新知識與舊知識的同化、順應，要引導學生根據教師的指導或書本提供的信息，尋找自己思想中已有的適當的知識材料，嘗試建立一個初步的結構，然后，在練習、解題、復習等等情況下作反省或檢驗，加以調整、更新、進行再組織，并繼續尋找與其它知識組塊的聯系，將其融入更大、更高效的結構中去。為了真正實現上述的目的，數學教師既要關注學生數學學習的起點、難點（事實上，正是因為相關的教學內容具有跳躍性，比如，從數字到字母、從平面到空間、從有限到無限等，學生所需要的準備知識，即相應的基礎圖式比較薄弱或根本就不存在，所以在數學教學中就形成了相應的“教學難點”），又要關注同一數學概念的鏈接點，如，函數概念在初中時的表述是：在某個變化過程中有兩個變量x、y，如果對于x在某個范圍內的每個確定的值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就說y是x的函數，x叫做自變量，理解這種表述的要點是“變化過程”、“變量”、“每個x”、“唯一的y值”和“對應”，對應是原始概念，整個定義是形成性的，不提定義域和值域。而高中里函數的概念比初中增加了“對應法則f”和附屬概念：定義域及值域，相關的解釋是“函數實際上是集合A到集合B的映射”，顯然，在數學教學中教師應善于從描述性語言到映射語言建立數學理解的橋梁。

2.要重視營造促進數學理解的教學情境。例如，在初中數學教學中，為了幫助學生理解有理數加法法則、乘法法則的合理，教學中應善于從學生的生活經歷和經驗出發，創設生活情境，從分析情境中的事理入手，提煉其中的數學道理，驗證相關運算法則規定的合理性。就具體的教學而言，可通過創設足球比賽的情境，通過某球隊在主客場比賽中的凈勝球數的計算，引導學生歸納有理數加法法則；可創設諸如水位升降的情境，通過情境數學化的探索活動，讓學生感受有理數乘法法則的合理性。如果缺乏相關的數學情境，學生學得的知識就只能是機械的，枯燥無力的，根本談不上什么深刻的數學理解。

3．要適度提供豐富的感性材料。英國的S.Pirie和加拿大T.Kieren認為，一個數學概念的理解可以劃分為八個水平：初步了解，產生表象，形成表象，關注性質，形式化，觀察評述，組織結構，發明創造[6]。直觀教學是使學生通過觀察達到數學認知理解的水平中的“初步了解、產生表象、形成表象”這一階段的一種重要方法。如前所述，數學認知理解是在已有的知識、經驗的基礎上進行的。教師向學生提供足以說明有關知識的豐富的感性材料，讓學生借此來進行各種復雜的認知活動，在頭腦中建立起要認識事物的特征、知覺、表象或觀念，從而獲得對事物的一些具體的或感性的認識，為達到數學認知理解的“關注性質、形式化、觀察評述、組織結構”奠定基礎。例如，在學習“棱柱”這一節內容時，教師可通過讓學生觀察長方體、三棱柱、六棱柱、五棱柱、上下底面是梯形的四棱柱、平行六面體等模型，總結它們在形狀上的共同特點，這些模型至少有兩個面互相平行；其余各面都是四邊形；并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，然后再得出棱柱的定義，學生自己通過“觀察評述、組織結構”得到的概念更容易理解和記憶。

4．要合理運用變式教學。要通過對數學問題多角度、多方位、多層次的討論和思考，幫助學生打通數學知識的關節，展示數學知識發生、發展和應用的過程，使從“變”的現象中發現“不變”的本質，從“不變”的本質中探究“變”的規律，加深對所學數學知識的理解，使所有知識點融會貫通，使數學思維在所學知識中游刃有余、順暢飛翔。合理運用變式教學的關鍵在于要根據教學或學習需要，遵循學生數學認知規律而設計變式，要注意在不同情景、不同階段讓概念性變式和過程性變式發揮各自的作用。一般地說，概念性變式用來構建合適的變異空間，讓學生體驗學習對象的關鍵方面，形成對學習對象的本質理解，而過程性變式的目的在于提供恰當的鋪墊，幫助學生建立學習對象與已有知識的內在實質性聯系[7]。

5．要重視信息技術手段的優化運用。信息技術不僅僅是知識內容傳遞和承載的工具，更多的是作為學習者信息加工的工具、認知加工的工具和社會認知建構與共享的工具，它超越了簡單的內容傳遞式的數學思維訓練，更多關注如何利用信息技術所提供的動態跟蹤功能、計算功能、通信功能和情境模擬功能等更高層次的技術特點優化數學認知與理解過程。就中小學數學教學而言，應當善于通過“z+z”、Mathemtics、幾何畫板等平臺的作用，充分運用動態模擬、圖形跟蹤、動態測量等技術營造問題解決的環境，活化學生問題解決過程中的知識與思維，變事實性知識（陳述性知識）為問題解決的工具（程序性知識），并由此搜索與建構問題解決的策略（策略性知識），發展學生批判性思維技巧。筆者認為，在信息技術條件下，理解性數學教學設計的核心是創設有效的情境，啟發學生思維，引導學生探究，促進學生深層次參與數學活動過程，在認知內化和社會建構過程中達到對數學的理解，在自我反思和評價總結過程中獲得必要的數學知識和思維技能。

6．要切實幫助學生實現知識系統化。為了幫助學生實現知識系統化，數學教學中首先要強化整體觀念，引導學生把握好數學概念的層次，明確相關數學概念的體系，找出同類概念之間的區別和不同類概念之間的聯系。例如，在立體幾何的多面體與旋轉體這一章中，多面體是一個上位概念，柱體、錐體、臺體是下位概念，它們似乎獨立，但又有內在聯系；臺的上、下底面全等時成為柱，其一個底面為點時成為錐。利用這些內在聯系，可把這幾種幾何體的性質，有關計算公式都歸結為一體，從而方便學生學習記憶。其次，要引導學生弄清相關知識的來龍去脈，了解它們的作用，例如，在復數教學中，絕對值的概念擴展成復數的模|a+bi|=（a、b∈R），這樣平面內兩點間的距離可用兩復數差的模來表示，于是|z－z₀|=r表示圓，|z－z₁|+|z－z₂|=2a（2a＞|z₁z₂|）表示橢圓等，還可以利用復數的三角形式簡練地證明三角恒等式。利用復數證明平面幾何問題。最后，應當十分重視課堂小結與單元復習，要注意通過將知識列表或畫出知識結構圖對相關知識進行系統化梳理。例如，初中所學方程的知識龐雜，分布較廣，可引導學生把所學主要知識進行歸納，形成“方程知識結構圖”。

7．要指導學生學會反思與提問。要引導學生為認識新的數學內容而重溫已接觸過的東西，逐次地拓廣或更新自己的理解體會，逐步養成自主反思的習慣，通過螺旋形往復式的認識和再認識，進一步體會相關數學知識的意義，作進一步的同化和順應，以適應全面深刻地掌握認知對象的要求。作為反思的主要方法，應當與自我提問緊密結合起來，比如：（1）就數學基本概念的教學而言，可以指導學生自我提問如下問題：如何理解目前的這個數學概念？我確實已經能理解這個概念了嗎？能不能對這個概念用自己的語言進行復述呢？怎樣用數學符號表述這個概念？這個概念的內涵是什么？外延是什么？與這個概念相似的概念還學過哪些？學過哪些與這個概念相關的概念？找一些不符合此概念的例子并說明為什么？能舉例說明用這個概念解決一些問題嗎？（2）就數學定理的教學而言，可以指導學生自我提問如下問題：這個定理說明的是什么？這個定理是怎樣提出來的？是根據生活中的實際問題還是已學過的數學知識？我能復述這個定理嗎？怎樣用數學符號表述這個定理？這個定理適用范圍是什么？這個定理應用的前提是什么？能用這個定理解決相關問題了嗎？能用這個定理解決實際生活中的哪些問題？（3）就解決問題的思路而言，可以指導學生自我提問如下問題：本題是怎樣做的？哪些措施起了作用？哪些措施沒起作用？下次我該采用什么措施？不這樣做行不行？還有無別的方法？這些方法哪個最好？該題未做對，教師講解后分析：做不對的原因是知識欠缺？解題方法錯誤？思維方式不對？或是別的錯誤？（4）就單元復習而言，可指導學生自我提問如下問題：我是否明確本單元的學習目標？我是否理解本單元的教學內容？本單元都有哪些題型？特定的問題是用什么特定的方法解決的？在本單元的學習過程中都有哪些失誤，今后怎樣避免這些失誤？本單元的知識哪些來源于生活實際？這些知識又能進一步解決生活中的哪些問題？

8．要不斷增強學生數學交流的意識，努力培養他們在生活中應用數學的能力。之所以強調要增強學生的數學交流意識，是因為：（1）通過數學交流，可以充分暴露有些學生在理解上的缺陷，知道學生哪些地方理解了，哪些地方沒理解，理解的程度如何；（2）通過數學交流，可以使學生重新認識、思索哪些理解得不是很透徹，從而促進他們對知識的深刻理解；（3）學生在表述的過程中，也有一個重新提煉、加工、概括知識的過程，可以獲得對知識的更深入的理解；（4）對同一知識，每個學生都有不同角度、不同層次的理解，通過交流，可以相互取長補短。之所以強調要培養學生在生活中應用數學的能力，是因為，就基礎教育而言，數學教學要和生活聯系起來才有活力，才能使學生體會到數學的價值，從而自發地產生學習數學的內部需要。同時，學生能將數學知識用在生活中，也是深刻理解數學知識的一個重要表現。例如，在軸對稱圖形的教學之后，可讓學生結合所學知識，自己動手做蝴蝶風箏模型，以豐富他們的感性認識，加深他們對軸對稱圖形的深入理解。

參考文獻：

[1][2]李士锜.數學教育心理[M].上海：華東師范大學出版社，2001：64~87.

[3]陳瓊，翁凱慶.試論數學學習中的理解學習[J]. 數學教育學報，2003，12，（1）:17~19.

[4]黃燕玲，喻平. 對數學理解的再認識[J].數學教育學報，2002，11，（3）:40~43.

[5]喻平.知識分類與數學教學[J].數學通報，2000，（12）:12~14.

[6]格勞斯.陳昌平譯.數學教與學研究手冊[M].上海：上海教育出版社，1999:131~194.

[7]張奠宙.中國數學雙基教學[M].上海：上海教育出版社，2006:72~80.