高中概率的教育價值、教學現狀及教學原則

摘 要：概率具有豐富的生活背景，是溝通變與不變、有限與無限、偶然與必然、確定與不確定的天然橋梁；是不確定數學的重要分支之一；概率論的知識中蘊含著豐富的辯證思想。高中數學新課程中大量編入概率知識，概率知識的教與學成為數學新課程實施中的一個重要話題。本文對概率的教育價值、教學的現狀以及教學中應遵循的原則進行了探討。

關鍵詞：概率；學習；教學

中圖分類號：G633.66文獻標識碼：A文章編號：1009-010X（2008）01-0046-03

概率是高中數學中的重要內容。1996年的高中數學教學大綱中列入了概率內容，《普通高中數學課程標準（實驗）》，在必修課程（數學3）、選修課程（系列2~3）中分別設置了概率的內容。筆者從高中數學教師的訪談中了解到，有相當一部分高中數學教師將概率教學的重點放在對一些概念的死記硬背和對計算技能的重復訓練上，因而沒能準確地把握高中概率的教育價值。本文試對高中數學概率的教育價值、概率的教學現狀以及概率教學應遵循的原則做一探討。

一、概率的教育價值

概率是隨機數學的基礎，起源于15世紀末卡丹與塔塔利亞合著的《博弈者入門》一書[1]。后經巴斯卡（B.Pascal）、費馬、Y．伯努利、龐加萊、希爾伯特等人的努力逐步發展和完善起來的。1935年柯爾莫哥洛夫將概率歸入測度論以后，概率得到了更為迅速的發展。我國在1963年的高中數學教學大綱（草案）中引人了概率，但未能長期實施。這次《標準》中概率的內容豐富而翔實，概率的教育價值得到了教育界的重視。

1.學習概率有助于培養學生的辯證思想。

概率論的知識中蘊含著豐富的辯證思想，它是溝通偶然與必然、變與不變、有限與無限、確定與不確定、局部與整體的天然橋梁。概率是揭示偶然世界規律性的科學，它所研究的隨機現象是偶然的，但又具有一定的規律性，偶然中蘊含著必然；概率是從頻率中抽象出來的，但一旦抽象出來以后，概率與頻率就有了本質上的差別：事件的概率是一個常數，而頻率卻是一個隨機變量；當試驗次數足夠大時，頻率的穩定值就是概率。這種過程體現了變與不變、有限與無限的相互轉化和辯證統一。當隨機事件發生的概率已知時，我們還不能肯定該事件實際上會不會發生，如“中獎率為1/1000的彩票，買1000張并不能保證一定能中獎”，因此在確定中又存在著不確定；天氣預報說今天下雨，可今天實際是多云；投擲一枚硬幣，可能正面（國徽）向上也可能反面（文字）向上，結果是不確定的，可是經過無數次的投擲，就會發現其正面向上和反面向上的幾率是均等的。但這并不能保證投擲100次，正面向上50次，實際上正面向上50次的機會只有8%左右。通過實際投擲和計算讓學生進一步領會概率值的本質；體會確定與不確定之間的辯證關系。在射擊試驗中，射手射中某一環的概率是局部問題，如果全面考察各環則是涉及隨機變量分布列的全局問題。通過這些隨機現象，讓學生感知偶然與必然、變與不變、有限與無限、確定與不確定、局部與整體的對立與統一，這些都有助于學生辯證思想的培養。

2.學習概率有助于增進學生對數學本質的理解。

概率論是不確定性數學的分支之一，屬時間數學（Mathematics of time）的范疇，它通過描述過去來預知未來。從本質上說，隨機數學與確定數學僅僅是處理方法上的差別。隨機問題是高維的確定性問題作低維處理的一種方式，如每次擲色子的結果，應該是其初始條件向量與過程中很多細微因素共同形成的，皆因現在無力探知掌握和控制它們，這才將其（很多因素）統一地以一個隨機因素來表示。從隨機數學的意義上講，確定數學建模中也丟掉了不少“弱”因素，本應在確定模型后加上一個隨機項ξ以表示一切丟掉了的多維隨機因素，皆因這些因素比較“弱”，處理時將它們省略了[2]。

事件與集合，概率與測度之間是十分相似的，把事件理解為基本空間Ω上的可測集，事件的概率理解為該集上的測度，定義事件域F 和概率測度P以后，概率空間（Ω，F ，P）便構成一個復合的數學系統，這樣古典概率的基本概念和理論就可以納入到現代數學的行列。概率中的事件是集合的一種原型，集合及其運算是概率中事件及其運算的一種抽象，集合給事件提供了一種嚴格的數學刻畫手段，這些都能幫助學生理解數學抽象思維的層次性；而隨機變量是以前學習過的變量的擴充，在離散型隨機變量的認識中，學生初步體會到數學知識基本的擴充方式：內容的擴充（研究對象的擴充）和研究方法的擴充。在隨機變量及其分布列、分布函數的學習中學生能夠初步體會到“一條原則，無數內容；一種方法，到處可用”（華羅庚語）的深刻內涵。因此學習概率能增進學生對數學本質的理解。

3.學習概率有助于學生認識數學與現實生活及其它學科的聯系。

概率是在解決各種實際問題的實踐中發展起來的，具有豐富的生活背景。從日常生活中的擲色子游戲、抽簽、抽獎到百年一遇的洪澇災害、每年數以萬計的交通事故、氣候的瞬息萬變、商界的各種風險投資、股票價格的波動起伏等現象都是概率在現實生活中的原型，這些為概率提供了豐富的生活背景。而交通事故、氣候的瞬息萬變、商界的各種風險投資和股票價格的波動起伏等也是其它學科要討論的問題。因此學習概率有助于學生認識數學與現實生活及其它學科的聯系，體會概率在刻畫和解決實際問題中的作用，感受數學的應用價值。

4.學習概率有助于傳統教學方法的改變。

概率教學中存在著大量的實踐活動，只有學生積極的參加了這些實踐活動，才能真正掌握這些內容，體會其中的思想內涵。這些活動將有效的改變教師和學生在教學中的地位，促進教師教學方法和學生學習方法的改變。教師將由知識的傳授者變為學生學習的組織者、引導者與合作者，學生的學習也將由被動學習變為主動探究。

二、概率教學的現狀

目前，高中數學的教學基本上是為高考而教，高考考什么就教什么，高考怎么考就怎么教，概率的教學也遵循著這個不成文的規則，況且概率進入高中課程的歷史只有短短的幾年，還沒有形成適合自己的教學方法和教學理念。

為了更好地了解高中數學教學中概率教學的情況，筆者對甘肅某中學的2位高中數學教師M和P進行了訪談。他們對概率教學的方法、目標和手段的看法如下：

1.教學方法以教師講授為主，學生動手試驗的機會很少。

M：高中的教學時間很緊，一般到高二必須將高中三年的內容講完，高三一年用來全面的復習。一般不采用學生動手試驗的方法，我們非常仔細的講解，有些學生都跟不上節奏。

P：我們很少讓學生做試驗，學生動手試驗一方面花的時間多，另一方面不利于知識的掌握且影響教學效果。我們學校的很多政策和學生的考試成績掛鉤。你的學生連續幾年考試成績不好，你的獎金，你的職稱等都要受到影響。

2.教學目的是掌握考試大綱中的知識點。

M：平時的課堂上，教師會將考試大綱中要求的知識點、往年考過的知識向學生逐一說明，再三強調，可是有些學生還是老犯錯誤。我也考慮過改變我的教學方法，也做過一些嘗試，感覺收益不大，比如以前上課時先將所有的知識點講完，然后再講例題做練習，后來改為邊講邊練，感覺還可以。好學生用什么方法都能行，有些學生不管用什么方法，總是跟不上。

P：教學的側重點是計算概率、方差、隨機變量的分布列等，因為每年高考有一個計算題，是大題。

實際上，普通高等學校招生統一考試（以甘肅省理科為例）近四年的高考中的概率與統計的分值在12~21分之間，題目基本上都是一些根據要求的簡單計算。

據統計2006年該題甘肅理科考生的平均得分為3.56分[3]。應該說這個得分是很不理想的，因此概率教學中存在的問題還是比較多的。

3.教學方式仍是一塊黑板，兩支粉筆，多媒體等教學設備幾乎沒用。

M：全校只有一個多媒體教室，一般公開課或上級檢查時才用。平時如果要用，提前2天要向教導處申請。再說，多媒體教室經常不用，為了在多媒體教室上一次課，備課所用的時間比平時備課多得多。

P：我沒用多媒體上過課，去年X老師的公開課在多媒體教室上，我認為數學課不適合用多媒體，老師一邊寫一邊說，學生有時候都跟不上。

分析以上內容，可以看出，概率知識進入高中數學課程后，一方面由于高考指揮棒的作用，教學中存在急功近利的思想，對長遠育人重視不夠；二是教師的思想和理念未能與《大綱》和《標準》接軌，出現《大綱》與《標準》和現行教學兩張皮的現象；再者，筆者通過與高中學生聊天的過程中發現，由于以前的高中數學中沒有概率知識，一些教師對大學中學習的這部分內容已生疏，教學中講不到位或講不清楚的現象時有發生。

三、概率教學應遵循的原則

1.抽象與具體相結合的原則。

概率具有豐富的生活背景，彩票的中獎率、投籃的命中率、藥品的有效率、隨機取數問題等都是概率在現實生活中的原型。這些問題學生在日常生活中都能感受到，這為理解概率的概念、隨機變量的概念及它們的性質提供了直觀的、現實的背景。教學中，應突出概率的這些生活背景，從實際問題出發，總結抽象出概率，遵循抽象與具體相結合的原則。如，在概率定義的教學中，教師可從藥品的有效率、投籃的命中率、彩票的中獎率等學生較為熟悉的術語出發，引出概率的定義，學生容易理解；在離散型隨機變量的教學中，教師可利用擲硬幣、投籃等具體問題引導學生正確理解符號{x=ξ}所表示的內涵。掌握隨機變量x的分布列包含的兩個信息，一是x的全部取值（由x的意義確定）；二是x取每一值的概率；在均值與方差的教學中，教師可選取世界杯足球賽中幾個球隊的成績，讓學生對各球隊的成績利用均值與方差進行分析，從而分析各球隊的整體情況。

2.滲透隨機思想方法的原則。

理解領會隨機思想和方法是高中概率教學的目標，也是概率教學的歸宿。學生理解隨機思想的途徑很多，加強學生的動手試驗不失為一種好方法。通過試驗，讓學生在做的過程中領會理解隨機思想。在高中的概率的教學中，教師應通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗，正確理解概率和隨機變量的本質，滲透隨機思想。例如讓每個學生拿出一枚硬幣，先說出擲后會出現什么結果，擲完后看是否和自己說的一致，擲二次、三次、四次等等，再看與判斷的是否一致。這樣通過師生互動，理清“隨機”的內涵，滲透隨機思想。在擲硬幣試驗中，出現正面（國徽）的概率為1/2，如前面所說根本不能保證擲100次，50次正面向上，但也不是說試驗的結果是無法控制的。實際上由“中心極限定理”完全可以通過試驗次數控制試驗的結果。如果想讓正面向上的頻率在區間（0.45，0.55）內的概率大于0.95，那么擲硬幣的次數要控制在384次以上。對于這些，試驗前教師應有明確的認識，課堂上根據精度要求對學生的試驗次數作必要的要求，只有這樣才能達到預期的目的。再如通過讓學生義務測量全校學生的身高和體重，描繪圖像看是否符合正態分布，了解正態分布的特點；計算全班生日相同的人數：如n個人的班級，一年（365天）中至少兩人生日在同一天的概率為，若n=55，則P≈0.99，在理論計算的基礎上，讓學生實際調查，加深理論與實際的聯系，體會隨機思想的本質。

3.信息技術與傳統教法相結合的原則。

傳統的教學方法在數學教學中具有不可替代的作用。但計算器、計算機等信息技術在概率教學中的應用，可以提高數據整理的時間和顯示的效果，在建立、記錄和研究信息方面，為學生提供了一個良好的工具，可以使學生有充足的時間來探究概率的本質。教學中教師指導學生利用計算器（機）等信息技術手段來處理問題，如，可以利用計算機產生隨機數來模擬擲硬幣的試驗，讓學生在實驗中體會隨機的思想本質。教學中教師盡可能的對一些典型試驗利用電子課間進行模擬，通過具體的圖形及動態效果使學生對概率的基礎知識有更深刻的理解。

參考文獻：

[1]高隆昌.數學及其認識[M].北京:高等教育出版社；海德堡 施普林格出版社，2001：236.

[2]高隆昌.數學及其認識[M].北京:高等教育出版社；海德堡 施普林格出版社，2001.236~237.

[3]閆沛蓮.2006年甘肅高考理科數學試題與考生答卷分析[DB/OL].中小學數學網，www.zxxsxw.net.

[4]鐘志華.對高中新課程中概率教學的認識[J].數學教育學報，2006，(1):82~85.

[5]中華人民共和國教育部制訂.普通高中數學課程標準(實驗)[M].北京：人民教育出版社，2003.

[6]人民教育出版社中學數學室.全日制教科書·數學[M].北京:人民教育出版社，2001.

[7]張德然，峁試松.高中概率統計教學中關于隨機性數學思維的培養[J].課程·教材·教法，2003，(9):39~42.

[8]張廣祥，張奠宙.代數教學中的模式直觀[J].數學教育學報，2006，(1):1~4.

[9]張艷霞，龍開奮，張奠宙.數學教學原則研究 [J]. 數學教育學報， 2007，(2)：24~27.