運用Ｂ－Ｓ模型對幾類保單選擇權(quán)定價的探討

[摘 要]選擇權(quán)的存在極大地豐富了金融市場的交易品種，增強了金融產(chǎn)品選擇權(quán)的發(fā)行者在金融市場上的競爭力，但也使其承擔了極大的風險。保險市場也不例外，保單選擇權(quán)的定價，也就是發(fā)行選擇權(quán)的保險人應該收取多少保險費才能與承擔的選擇權(quán)風險相匹配。保單選擇權(quán)是由保單的一些附加條款而產(chǎn)生的，實際上就是一種小期權(quán)。本文從期權(quán)的角度，運用B-S(Black-Scholes)模型來分析這種保單選擇權(quán)，定期壽險保單的可續(xù)保選擇權(quán)、保單退保選擇權(quán)、年金保險保證積累利率選擇權(quán)等都具有歐式看漲期權(quán)性質(zhì)，以B-S模型來定價這些保單選擇權(quán)，延伸了傳統(tǒng)計量方法，豐富了傳統(tǒng)定價方法，給予實際定價過程以對照和修正。

[關(guān)鍵詞]B-S模型；期權(quán)定價；保單選擇權(quán)

[中圖分類號]F840.62 [文獻標識碼]A [文章編號]1671-6604(2008)05-0089-04

目前我國的保險業(yè)仍處于發(fā)展的初級階段，整個行業(yè)的承保能力和賠付能力不足，很難滿足國民經(jīng)濟和社會發(fā)展的需要，同時，加入WTO使民族保險業(yè)又面臨著激烈的國際競爭。中國保險業(yè)要想在激烈的競爭中生存和發(fā)展，就必須充分發(fā)揮后發(fā)優(yōu)勢，借鑒國外經(jīng)驗，加快保險市場與資本市場對接的步伐，努力推進保險證券化，積極培育和發(fā)展包括期權(quán)在內(nèi)的保險衍生市場，才能夠走出困境，增強自身的競爭力。

期權(quán)是20世紀國際金融市場創(chuàng)新實踐的一個成功典范。保險期權(quán)的誕生，給保險理論和實踐帶來了巨大的沖擊和影響。本文就保險期權(quán)的一個方面保單選擇權(quán)進行初步探討。

許多金融工具都有選擇權(quán)，譬如貸款，借款人有提前償還貸款的權(quán)利，銀行也有調(diào)整利率的權(quán)利，這實際上就是選擇權(quán)。幾乎所有的長期壽險保險單都有選擇權(quán)，例如終身壽險的投保人有退保而領(lǐng)取現(xiàn)金價值的權(quán)力，大多數(shù)有現(xiàn)金價值的保單還有抵押貸款的權(quán)利，躉繳保費的延期年金有可部分抽取基金的權(quán)利，萬能壽險選擇權(quán)更加靈活，有繳費自由及可改變保險金額的權(quán)利，短期人壽保險單有可繼保的選擇權(quán)等等。那么這些保單選擇權(quán)如何定價，筆者將就此進行討論。

筆者首先將介紹B-S模型，然后再對幾類常規(guī)保單選擇權(quán)的定價進行分析。

一、B-S模型簡介

在20世紀70年代初，F(xiàn).Black和M.Scholes推導出基于無紅利支付股票的任何衍生證券必須滿足的微分方程，他們運用該方程推導出股票歐式看漲期權(quán)和看跌期權(quán)的價值。下面筆者將對B-S(Black-Scholes)模型^[1]進行簡單的介紹。

模型的假設如下：

(1)股價變動過程可由Ito-Process代表(隨機游動)：dS=uSdt+σSdz

(2)股票交易連續(xù)進行，且具有可分割性(即交易任何比率股票)；

(3)交易費用及稅收不存在；

(4)可無限放空股票及充分利用放空得來的資金；

(5)無風險利率存在；

(6)標的股票在衍生性商品存續(xù)時間不分發(fā)現(xiàn)金股息；

(7)期權(quán)是歐式的；

(8)標的資產(chǎn)價格和利率波動在整個交易期間為已知常量，其中dS為標的資產(chǎn)價格無窮小變化值；dt為時間無窮小變化值，u為標的資產(chǎn)在每一無窮小期限內(nèi)平均收益率；σ為標的資產(chǎn)價格的波動性，即標的資產(chǎn)在每一無窮小期限內(nèi)平均收益率的標準差，dz為無窮小隨機變量。模型公式為

其中，C為歐式看漲期權(quán)的價值；S為當前股票價格；E為履約(成交)價格；δ為n個時期上的無風險利息強度；n為到期日為止的時間；N為標準正態(tài)分布的積累分布函數(shù)，即：

二、運用B-S模型對幾類常規(guī)保單選擇權(quán)定價

(一)定期壽險保單可續(xù)保選擇權(quán)定價

保險公司出于使保單具有更大的靈活性及降低承保成本的考慮，一般都會給定期壽險保單附加上可無條件續(xù)保條款。這種條款毫無疑問會增大保險人的死亡率逆選擇風險，這種風險實際上就是保險人賣出了一份歐式看漲期權(quán)，投保人則在購買了一份定期保險合同的同時也擁有了一份期權(quán)。當保險合同到期時，若投保人認為自己的死亡風險比常人要大，他或她就會執(zhí)行這個期權(quán)，那么保險人應該對這個期權(quán)如何定價呢?假設x歲的人購買了n年定期壽險，對比期權(quán)的定價因素，以死亡率為期權(quán)標的，標的的現(xiàn)價S就是現(xiàn)在被保險人的死亡率nqx，到保險人達到x+n歲保險到期時，期權(quán)的執(zhí)行價格定為nq_x+n，這個nqx與nq_x+n都是正常人的死亡率，當保險到期時，如果投保人感覺到自己的身體健康狀況要比正常人的糟糕，即他或她的死亡率高于正常人，記為nqu_x+h，也就是說，當nqux+h>nq_x+n=X時，投保人執(zhí)行期權(quán)。如果投保人在x+n認為發(fā)生意外的情況較小或健康狀況非常好時，此時的死亡率設為nqd_x+n，當nqd_x+nx+n，期權(quán)價值處于虛值狀態(tài)^[2]。

由此可知，所討論的期權(quán)標的為死亡率，期權(quán)現(xiàn)價為nqx，執(zhí)行價為nq_x+n，期限為T-t=n，期權(quán)標的價值的波動率σ為死亡率的波動率，無風險利率可定為保監(jiān)會規(guī)定的定價利率上限(目前我國的壽險定價利率上限為2.5%)。

這樣可用B-S公式來解決這個小期權(quán)的定價問題。

例如：30歲的男性被保險人投保了1年可續(xù)保定期壽險，無風險利率假設為2.5%，死亡率波動率σ為100%，由CL1(2000-2003)的生命表可知，q_{30=0.000 881，q31=0.000 932，我們假設1年定期壽險的死亡給付為10 000元，由前面的討論可知：S=0.000 881，X=0.000 932，于是由B-S定價公式可求出：}

d1=ln(S/X)+(r+σ²/2)TσT^1/2=0.469

d2=d1-σT^1/2=0.469-1=-0.531

查正態(tài)分布表，可得

N(0.469)=0.681 N(-0.531)=0.298

C=SN(d1)-Xe^{-rTN(d2)=0.000 302 9(元)}

最后一個式子乘上10 000，相當于3.029元是保額為10 000元的1年定期壽險的可續(xù)保選擇權(quán)的期權(quán)費，當然這些是建立在純風險保費基礎上的，不僅忽略了附加保費，而且忽略了交易費用。

(二)保單退保選擇權(quán)定價

影響保單失效率的因素很多，保單設計、投保人心理及金融知識、利率、保險公司經(jīng)營狀況、投保人年齡、收入等因素都會影響退保率，在眾多因素中，影響最大的因素就是利率因素，因此許多研究文獻或教科書中都將退保率定義為利率的函數(shù)，其實單純利率的上漲與下降對退保率的影響并不顯著，真正影響退保率的是利率與信用利率的差額^[3]，當這個差額增加到一定水平，投保人則會采取措施，使自己的資產(chǎn)免受損失。因此本文將退保率規(guī)定為利率與信用利率差額的函數(shù)。

要研究退保率，就像研究失業(yè)率一樣，要把退保率分為自然退保率與經(jīng)濟變動退保率，自然退保率就是總的退保率減去經(jīng)濟變動退保率的差額，而經(jīng)濟變動退保率就是利率與信用利率的差額的增長引起的退保率，這樣利率與信用利率的差額與退保率的函數(shù)關(guān)系曲線就像Philips曲線一樣，只不過變化趨勢與Philips曲線反向而已。為了便于表達，我們將利率與信用利率之差定義為利率差，這樣利率差與退保率的關(guān)系可大致用如下的曲線表述：

每個保險人都可以根據(jù)自己的經(jīng)驗繪制出自己的退保率與利率差之間的關(guān)系圖，假設某保險人現(xiàn)在的退保率為W，對于終身壽險，n個保單年度后，執(zhí)行退保率設為WX，無風險利率為r，退保率的波動為σ。另外，還要將退保率與經(jīng)濟價值聯(lián)系起來，最合適的聯(lián)系就是在n年退保時產(chǎn)生的現(xiàn)金流，可以假設為n年時的責任準金nV，這樣就可用B-S期權(quán)定價公式來解決這個選擇權(quán)的定價問題了。

舉例說明B-S定價公式在這個問題上的應用。對于一個終身壽險，某保險人現(xiàn)在的退保率為15%，假設對于n年的期權(quán)執(zhí)行退保率為10%，假設這個10%就是保險人的自然退保率，假定無風險利率為2.5%，退保率的波動率為10%，期權(quán)期限為5年，5V=10 000，那么可知

另外，這種選擇權(quán)準備金實際上也就是在保單準備金基礎上的一種費用，扣除這個費用后的保單準備金就是現(xiàn)金價值。因此，保險人就多了一種現(xiàn)金價值的定價方法。

(三)年金保險保證積累利率選擇權(quán)定價

保險人發(fā)行年金保險時，為了打消投保人對積累利率過低的憂慮，于是，保單一般都給出最低積累利率的保證，這個保證實際上是一個看跌期權(quán)，對于投保人來說，可以使自己購買年金保險的最低收益鎖定在保險人承諾的最低積累利率之上。 這個看跌期權(quán)并不是一個單期期權(quán)，而是一系列的看跌期權(quán)的組合。

我們以1年期無風險利率為基準利率，看跌期權(quán)執(zhí)行利率為X，假設保險人的結(jié)算周期是1年，當然結(jié)算周期也可以是更實際一些的3個月，只是為了便于說明問題在本文的討論中仍假設為1年，假設期限為5年，當然期限也可以延伸下去，見圖2。

在A點處，1年期無風險存款利率大于執(zhí)行利率X，期權(quán)到第1年末執(zhí)行時價值為零，在B點處，1年期無風險利率小于X，收益的點數(shù)為X與B點處的無風險利率的差額。同樣在C點處，也有收益X與1年期無風險收益率之差。在D點處1年期無風險利益與X相等，投保人無收益，在E點處與A點相似，投保人的期權(quán)價值為零，雖然圖2描述的是看跌期權(quán)，但在以下的分析中，仍用系列期權(quán)的看漲期權(quán)，再進一步用平價關(guān)系公式來求看跌期權(quán)之價值。我們?nèi)匝赜肂-S模型。

B-S模型用到5個基本的變量：現(xiàn)價、執(zhí)行價格、波動率、無風險利率、期限。轉(zhuǎn)換到本文討論的利率上限期權(quán)定價模型中，現(xiàn)價就是現(xiàn)在的1年期無風險利率，執(zhí)行價為上限期權(quán)執(zhí)行價，無風險利率是指將期權(quán)頭寸進行轉(zhuǎn)期的融資成本，一般認為是從現(xiàn)在到小上限期權(quán)到期日的零息債券利率。期限就是期權(quán)成交日到確定小上限期權(quán)收益的期間，波動率為1年期無風險利率存款的波動率，對于圖2中的系列期權(quán)，只要對系列期權(quán)中的每個期權(quán)分別計算期權(quán)費，再將這些期權(quán)費加總，即可得到總的期限費^[4]。

例如，現(xiàn)價S為2.5%，X=1，75%的看漲期權(quán)，波動率σ假設為20%，期限為1年，無風險利率假設為2%，該期權(quán)的價格為

在作了一系列的假定后，可把終身生存年金的系列期權(quán)的期權(quán)費算出來，這一系列的期權(quán)費就是投保人鎖定收益或損失的代價，它可能附加在費用中，也可能附加在退保成本中^[5]。上例中由于1.75%的最低承諾是比較低的，因此，期權(quán)費也是比較廉價的，僅為0.004 35%而已。

討論的方法同樣可用于萬能壽險最低積累利率承諾的成本核算。

三、小 結(jié)

上文對幾類常規(guī)保單選擇權(quán)的定價探討，脫離了傳統(tǒng)的精算法，運用了 B-S模型進行了模擬，但依然有很多問題有待探討。隨著保險業(yè)的蓬勃發(fā)展，保險人之間的競爭日趨激烈，對于風險的防范和保險投資都提出了更高的要求^[6]。嵌入式條款產(chǎn)生的這種小期權(quán)，帶來的風險防范也將是保險人不得不考慮的問題。

本文介紹的期權(quán)定價原理應用于壽險只是期權(quán)理論在保險中運用的冰山一角。現(xiàn)在已有文獻把期權(quán)理論應用于保險業(yè)的資產(chǎn)負債管理中，這是現(xiàn)代資產(chǎn)管理方法發(fā)展的必然結(jié)果。這些科研工作也必將擴大期權(quán)在保險領(lǐng)域的運用，有助于推動我國保險期權(quán)研究的發(fā)展和保險期權(quán)市場的建立。我們期待著有更多新的保險期權(quán)方面的研究成果出現(xiàn)。

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(責任編輯 楊海瀕)

An Analysis of the Option-pricing of Several Insurance Policies with B-S Model

ZHOU Jun-suo

(School of Finance and Economics，Jiangsu University，Zhenjiang 212013，China)

Abstract：The existence of options has greatly enriched the trading of financial market.It sharpens the competitive edge of the producer of financial goods，as well as increases his risks.The insurance market is no exception.The option of insurance policy should be priced so as to match the risk the insurer has to undertake.Options of insurance policy are produced by additional clauses，and amount to a small option.In this paper，the B-S model is used to analyze this option.Term insurance renewal option and policy surrender option and annuity insurance guaranteed accumulation interest rate option have the characteristics of European call.To use the B-S model to price this option extends the traditional measuring method，enriches the traditional pricing method and serves as a reference in and modifies the actual pricing process.

Key words：B-S model；option-pricing；insurance-policy option

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