黑體熱輻射光頻率定義域方程及其應(yīng)用

摘 要：文中提出了普朗克公式中光頻率的定義域概念和確定其定義域的方法。利用導(dǎo)出的光頻率定義域方程，取計算精度因子n為3，計算出了溫度為200K時的長波頻率界是1.586224×1011HZ；600K時的短波頻率界為1.825143×1015HZ。這就是說，在大多數(shù)工程實(shí)踐可能涉及的溫度范圍內(nèi)，當(dāng)計算精度為百萬分之一時，普朗克公式中光頻率的定義域即是1.586224×1011HZ到1.825143×1015HZ。

關(guān)鍵詞：普朗克公式；光頻率定義域；計算精度因子；光頻率定義域方程

中圖分類號：Q536 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

An Equation on Definitive Range of the Light

Frequency in Planck Formula

CHEN Guang-sheng1，CAI Ru-hua2

(1.Department of Computer Engineering，Hechi Professional College，Hechi，Guangxi，547000，China)

2.College of Mathematics and Computing Science，Guilin University of Electronic， Guilin 541004， China)

Abstract:A concept of definitive range on the light frequency in Planck formula and a method Of computing the definitive range are presented in this paper. Based on the developing equation Of definitive range of light frequency， we have calculated with accuracy factor n=3 that the long wave frequency point as the temperature 200K and the short wave frequency point as the temperature 6000K are to respectively. Therefore， the definitive range of the light frequency in Planck formula at most of all the temperature in engineering practice will be defined within computing factor of millionth asto.

Key words:Planck formula， Definitive range of light frequency， accuracy factor of computing， Equation of definitive range on the light frequency

近年來，隨著光電子技術(shù)的發(fā)展，再度引起人們關(guān)于普朗克公式的研究興趣。由普朗克提出的黑體輻射定律［1］為

Mb（v，T)=2πhv3c2(ehvkT-1)（1）

式中黑體熱輻射度Mb(v，T)是以開爾文溫度和輻射光頻率為自變量的二元函數(shù)；c=2.99792458×108m.s-1，h=6.626176×10-34j#8226;s，k=1.38066244×10-23m#8226;K-1是常數(shù)。（1）式中的T是由實(shí)際工程技術(shù)問題決定的。例如，對于太陽表面的熱輻射，一般認(rèn)為其值為6000K［2］；而地球表面的輻射溫度取200K到350K就足夠了。也就是說，（1）式中溫度T的定義域（取值范圍）可以是200K到6000K。（1）式中光頻率的取值問題，早年有以下的講述。首先，根據(jù)維恩位移定律（2）式［3］

b=vmT=5.878888297037628×1010HZ#8226;K-1(2)

說明，溫度越高，輻射峰值Mbm對應(yīng)的光波頻率vM越大，并可以由給定的溫度計算出這

一峰值點(diǎn)頻率的值。其次，由下列斯蒂芬－玻耳茲曼定律（3）式［1］

Mb(T)=∞0Mb(v，T)dv=σT4（3）

表明，當(dāng)時是把熱輻射光波頻率的取值范圍定為到這一極限情況來處理的。（3）式中常數(shù)σ=5.669×10-20W/μm2#8226;K4。然而作為熱（溫度）輻射的光波頻率，實(shí)際上絕對不可能含有0或∞的成份。而光波作為電磁波的一部分，其頻率的取值范圍在文獻(xiàn)中沒見任何報導(dǎo)。

本文引進(jìn)一個計算精度因子n，導(dǎo)出了（1）式中光頻率v的定義域方程，并根據(jù)此方程給出了一些初步的計算結(jié)果及其討論與結(jié)論。

1 黑體熱輻射光頻率的定義域方程

溫度為時Tj，（1）式的輻射度Mbj與光頻率的關(guān)系曲線如圖1所示。

圖1 熱輻射度與光頻率的關(guān)系曲線

由圖1可見，根據(jù)（1）式讓此Mbj滿足10nMbj=Mbmj便可以建立起以下的關(guān)系式

Mbmj(vm，Tj)=10nMbj(v，Tj)(4)

即

由式（4）得

10nv3(ehvmkT-1)=v3m(ehvkT-1)（5）

令xj=hvjkTj（6）

由式（6）xj＞0知，將式（2）和式（6）代入式（5）簡化得到10nx3j-1.42144exj+1.42144=0（7）

式（7）即是我們要尋找的普朗克公式中光頻率的定義域方程。該方程的兩個根xjs(n)和xjl(n)＜xjs(n)分別對應(yīng)著圖1中標(biāo)明的“短波頻率”端點(diǎn)vjsn和“長波頻率”端點(diǎn)vjln，即由式（6）定義出以下Cjs與Cjl(n)之后

Cjs(n)=kxjs(n)h（8）

Cjl(n)=kxjl(n)h（9）

就可以把給定溫度Tj和計算精度因子n時的光頻率定義域端點(diǎn)vjsn與vjln表達(dá)成

vjsn=Cjs(n)#8226;Tj（10）

vjln=Cjl(n）#8226;Tj（11）

2 數(shù)值計算結(jié)果

（7）式是一個超越方程，其解的可信度可以由在給定計算精度內(nèi)滿足（7）式，或者滿足由（5）式導(dǎo)出的下列（12）式來檢驗(yàn)。

xjl(n)xjs(n)3exjs（n)-1exjl(n)-1=1（12）

為了確定（1）式中光頻率的最大取值范圍（定義域），這里只針對實(shí)際上可能出現(xiàn)的最大溫度范圍T1=200K和T2=6000K，并取n=3計算出T1時的長波頻率端點(diǎn)v1l3和T2時的短波頻率端點(diǎn)v2s3之值。即在方程（7）式中給定計算精度因子n=3，解出了x1l(3)=0.038064和x2s(3)=14.598930。這樣由（8）式和（9）式即得到c1l(3)=7.931122×108；c2s(3)=3.041904×1011，將其代入（10）式和（11）式得到v1l3(3)=1.586224×1011HZ，v2s3=1.825143×1015HZ。這一計算結(jié)果表明，普朗克公式中光頻率的定義域（最大取值范圍）在百萬分之一的計算精度內(nèi)是1.586224×1011HZ到1.825143×1015HZ。當(dāng)然，根據(jù)不同的溫度范圍和不同的計算精度要求，（1）式中光頻率的定義域肯定會有所不同，但是只要n和Tj給定之后，的定義域便被唯一確定了。

3 結(jié)束語

在某一溫度點(diǎn)或一定溫度范圍內(nèi)，如何確定普朗克公式中光波頻率的取值范圍，過去一直都沒有一個的理論表述。我們在本文里首次提出了（1）式中光波頻率的定義域概念和確定其定義域的方法。由導(dǎo)出的普朗克中光波頻率的定義域方程（7）式，計算出了精度因子n=3，200K，溫度時的長波頻率端點(diǎn)為1.586224373×1011HZ；350K溫度時的短波頻率端點(diǎn)是1.064667×1014HZ。也就是說，在地球表面可能的熱輻射溫度范圍內(nèi)，以十百萬分之一的精度計算，其光波頻率定義域是從1.586224×1011HZ到1.064667×1014HZ。這一理論結(jié)果為實(shí)際工程的應(yīng)用提供了一個理論依據(jù)。這便是本文研究結(jié)果在應(yīng)用上的重要價值之一。

參考文獻(xiàn)

［1］E.M斯帕羅，輻射傳熱［M］，北京：高等教育出版社，1982.

［2］程守洙等，普通物理學(xué) ［M］，北京：高等教育出版社，2001.

［3］楊師銘等，傳熱學(xué)［M］，北京：高等教育出版社，1998.