構建知識聯系，促進數學理解

數學理解是數學學習過程的重要環節，也是促成學生數學能力提高的關鍵.Hiebert和Capenter研究認為[1]，具有理解的學習就是建立聯系.理解的程度是由聯系的數目和強度來確定的.不少專家已從聯系的角度提出促進學生數學理解的教學策略與具體措施.但是，這些教學策略與措施過于籠統，針對初中教學內容與初中生的特點，探究有效促進數學理解的途徑和方法是有意義的.

一、構建數學知識不同表征間的聯系

認知心理學家將知識在學習者頭腦中的呈現和表達方式稱為知識的表征．知識的理解與知識的表征密切相關，事實上，對一個事物本質的理解，就是指該事物的性質以一定的方式在學習者頭腦中呈現并能迅速提取．因此可以將理解解釋為對知識的正確、完整、合理的表征．促進學生對數學知識的理解，依賴于學生對數學知識表征多元性與靈活性的能力.教師有意識地讓學生主動探究數學知識的不同表征方式，是促進學生不同數學理解的途徑.

1.利用數學思想方法建構聯系

初中階段常用的數學思想方法，如數形結合思想、方程與函數思想、轉化化歸思想蘊涵著數學知識不同方式的表征.這些思想方法本身是數學知識反映的不同側面的綜合.

例（杭州市2001年中考第24題）若方程x2+2px-q=0（p，q是實數）沒有實數根，求證：p＋q＜.

理解一：把問題看成方程問題，利用方程根的判別式，結合配方法來解題.

簡解：由題意，方程根的判別式Δ=4p2+4q<0，得q<-p2.

則有成立.

理解二：把問題理解成拋物線y=x2+2px-q的圖象開口向上且與x軸沒有交點，因此不論x取何實數，都有y>0.

對比這兩種理解，雖然起點問題相同，但對問題的處理方式不同，這是種不同的學習者對同一內容的不同表征方式.在教學中，教師引導學生設法用不同的方式來表征同一內容，建構聯系能促進學生對數學知識的深刻理解.

2.利用變式建構聯系

傳統的變式教學，充分展示了不同數學知識表征轉換過程中的魅力.引導學生在知識變式過程中，把握數學的本質屬性，建構不同表征間的聯系，促進數學理解.

例如圖1，在Rt△ABC中，四邊形ACFE、BGHC、AMNB都是正方形，由勾股定理可知SACFE+SBGHC=SAMNB

變式1分別以AC、BC、AB為邊向外作正三角形、等腰直角三角形、半圓等也有類似結論嗎？

點評1讓學生討論，目的是激發學生對AC2+BC2=AB2內在規律性的深入思考.經歷變式，學生體驗到雖然圖形變化了，但結論沒有本質改變，這些都是勾股定理知識的外部表征方式.

變式2可否作更一般的圖形，若要滿足面積的等量關系這些圖形間有何聯系？

點評2通過進一步變式，讓學生把平方關系與相似圖形的面積比等于相似比的平方建構起了聯系.拓寬了學生的思路，促進了學生的數學理解.

變式3若△ACB為一般三角形，以三角形邊長為一邊，向外作正方形，這些圖形間面積有何關系？

點評3把直角三角形變式為一般三角形，本質屬性是把平方的相等關系拓展為平方的不等關系，構建了直角三角形與一般三角形邊的平方關系表征之間的聯系.

變式4若把這些平面面積關系變式表征為立體體積關系，還有什么新的結論？

點評4結合線段之間的關系，引導學生的理解從一維空間、二維空間向三維空間的拓展，使學生從平面勾股定理的表征擴展到立體勾股定理的表征形式.

二、構建數學知識與實際應用情境的聯系

關注數學知識的情境性是揭示數學知識本質的一個新視角.我們常常關注數學知識的逐步抽象概括過程，但是在數學教學過程中，也需要把抽象、概括的知識與實際的應用情境相聯系，使之理解更深刻.

此題證好后，很少有同學再去反思它的實際情境意義.我們可以把這個基本圖形的結論與并聯電路中分電阻與總電阻的關系聯系起來，讓學生從AC、BD、EF的變化關系去探討并聯電路中電阻的變化關系，拓寬學生應用數學知識的視野，深刻理解的物理意義.在初中數學教學內容中，可以把許多數學知識與實際應用情境聯系起來 ，讓學生領悟到數學知識的高度概括性.如我們可以把定滑輪為什么只是改變力的方向而不改變力的大小與圓的旋轉不變性聯系起來.進一步探究發現，可以把定滑輪看成等臂杠桿.從而加深初中生對圓的基本性質的理解.

三、構建數學知識產生過程與形成結論的聯系

數學知識蘊涵過程與結論的統一，我們要重視數學結論的應用過程，更要重視數學知識的產生過程.例如全等三角形的判定定理和性質定理與相似三角形的判定定理和性質定理產生過程有高度關聯性.教師要善于讓學生體驗數學知識產生過程的類似性，促進學生的數學理解.尤其在定理教學過程中，我們往往忽視定理的產生過程，匆忙開始題型訓練，削弱了學生產生式知識的獲得，因而學生對定理的理解是不全面的.例如在勾股定理逆定理的教學中，條件是三角形兩條較小邊的平方和等于較大邊的平方，可以判定較大邊所對的角是直角，從而判定三角形是直角三角形.我們也可以拓展條件，使這個定理可以用來判定銳角三角形、鈍角三角形，充分展示了知識形成過程與結論的聯系.

四、重視數學教學內容與數學史的關聯

著名數學家和數學史家M.克萊因十分強調數學史對數學教育的重要價值. 他說，我們無需完全追隨歷史，但如果大數學家在作出某些創造時遇到的困難，我們的學生也會遇到. 他舉例說，從演繹數學誕生開始，數學家花了1000年才得到負數概念，又花了1000年才接受負數概念，因此我們可以肯定，學生學習負數時必定會遇到困難.[2]我們在初中數學教學中只有了解一定的數學發展史，才能更好地把握學生理解的障礙點，有的放矢地開展教與學的活動，促進學生更好地理解數學知識.例如浙教版《數學》九年級上冊第83頁A組第3題：已知圓的半徑為R，設弧的度數為n°，當n分別為120，90，60時，求弦長與弧長的比，所求的三個比中，哪一個更接近1？這個問題可以引申為隨著圓心角的進一步分割，多邊形的周長與圓的周長比，讓學生體驗中國古代的割圓術與無限的初步設想.我們可以從勾股定理趙爽的弦圖證法中體會中國古代所展示的割補原理和數形結合的思想，與歐幾里得證法的比較體驗中西文化的差異.

在教學中強調從聯系的角度去理解數學教育，可使學生在學習過程中體會到數學是一個有機整體.知識之間的聯系是可以通過自己的探索建立的.學生在已有數學知識和經驗的基礎上，建立知識的恰當心理表征，逐步形成豐富的、融會貫通的知識網絡與思維過程.當學生對數學知識建構理解以后，可以樹立正確的信念，從而可以提高學生的學習興趣，以更大的學習熱情投入到自己的學習活動中去.■

參考文獻：

[1]熊丙章，劉麗穎.數學理解研究綜述[J].渤海大學學報（自然科學版），2005（1）.

[2]張維忠，汪曉勤.文化傳統與數學教育現代化[M]. 北京：北京大學出版社，2006.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。”