切換時滯系統的穩定性

［摘 要］本文基于單Lyapunov泛函理論，利用凸組合方法，設計了一類依賴于狀態的切換信號，得到切換時滯系統穩定的充分條件。

［關鍵詞］切換時滯系統 單Lyapunov泛函 凸組合

［中圖分類號］TP ［文獻標識碼］A ［文章編號］1009－5489(2008)05－0196－01

由于連續系統動態，離散系統動態以及時滯之間的相互作用，切換時滯系統的行為通常要比一般的切換系統或時滯系統的行為復雜的多。因此，人們對切換時滯系統研究產生了極大的興趣。目前對切換時滯系統的研究主要涉及線性切換時滯系統。且集中在穩定性研究和切換信號的設計。本文基于單Lyapunov泛函理論，利用凸組合方法，設計了一類依賴于狀態的切換信號，得到切換時滯系統穩定的充分條件。

一、系統描述及預備知識

考慮下面的切換系統：

(t)=Aix(t)+Mix(t－τ)

x(t)=(t) t∈［－τ，0］(1)

其中：x(t)∈Rn為系統的狀態向量，τ≥0為時滯常數，(t)為向量值初始函數，σ(g):［0，∞)={1，2，L，N}為切換函數(N＞1)，Ai，Mi∈Rn×n(i∈)表示第i個子系統的常數矩陣。其中Mi(i∈)可分解為兩個適當維數的矩陣之積，即存在兩個適當維數的矩陣Ei和Fi，使

Mi=EiFi(i∈)(2)

二、單Lyapunov泛函方法

定理2、若存在∈γα1，α2，L，αn(A1，A2，L，AN)和實數λ＞0使得下面的Riccati不等式方程有對稱正定矩陣P解：

P+P+λFTF+1λPEETP＜0(3)

則存在切換函數σ(g)：［0，∞)={1，2，L，N}使得系統(1)漸近穩定。其中：∈γα1，α2，L，αn(A1，A2，L，AN)，表示由參數α1，α2，L，αn所確定A1，A2，L，AN的凸組合構成的矩陣束，FTF={FTiFimax{‖FTiF‖}}，EET={EiETimax{‖EiETi‖}}(4)

證明：我們考慮切換系統只有兩個子系統的情形，即m=2。對于m＞2的情形，同理可證。

因為∈γα1，α2(A1，A2)，所以α∈［0，1］，使得α1=α，α2=1－α，且

=αa1+(1－α)A2(5)

將(5)代入(3)得

α(AT1P+PA1)+(1－α)(AT2P+PA2)+λFTF+1λPEETP＜0，

即α(AT1P+PA1+λFTF+1λPEETP)+(1－α)(AT2P+PA2+λFTF+1λPEETP)＜0

所以αxT(t)(AT1P+PA1+λFTF+1λPEETP)x(t)+(1－α)xT(t)(AT2P+PA2+λFTF+1λPEETP)x(t)＜0，x∈Rn＼{0}。

令Ω1＝{x(t)xT(t)(AT1P+PA1+λFTF+1λPEETP)x(t)＜0}

Ω2＝{x(t)xT(t)(AT2P+PA2+λFTF+1λPEETP)x(t)＜0}

則Ω1∪Ω2=Rn＼{0}。

構造如下的Lyapunov泛函：

V=(x(t))=xT(t)Px(t)+λtt－τxT(s)FTFx(s)ds(6)

其中：FTF={FTiFimax{‖FITiFi‖}，(i=1，2，L，N)}。

設計切換律為：

α(x)=1 x(t)∈Ω12 x(t)∈Ω1＼Ω2(7)

若x(t)∈Ω1，

(x(t))= T(t)Px(t)+xT(t)P(t)+λxT(t)FTFx(t)－λxT(t－τ)FTFx(t－τ)(8)

將式(1)代入式(8)的前兩項可得

T(t)Px(t)+xT(t)P(t)=xT(t)T1Px(t)+xT(t－τ)MT1Px(t)+xT(t)PA1x(t)+xT(t)PM1x(t－τ)=xT(t)AT1Px(t)+xT(t)PA1x(t)+2xT(t)PM1x(t－τ)(9)

利用式(2)，我們得到

2xT(t)PM1x(t－τ)=2xT(t)PE1F1x(t－τ)=2(E1Px(t))TF1x(t－τ)≤1λxT(t)PE1ET1Px(t)+λxT(t－τ)FT1F1x(t－τ)(10)

故(x(t))≤x(t)(AT1P+PA1+1λPE1ET1P+λFTF)x(t)+λxT(t－τ)(FT1F1－FTF)x(t－τ)=x(t)(AT1P+PA1+1λPEETP+λFTF)x(t)+λxT(t－τ)(FIT1F1－FTF)x(t－τ)+1λxT(t)P(E1ET1－EET)Px(t)(11)

由于FT1F1≤FTF，E1FT1≤EET，

所以xT(t－τ)(FT1F1－FTF)x(t－τ)≤0，xT(t)P(E1ET1－EET)Px(t)≤0，

由已知條件x(t)(AT1P+PA1+1λPE1ET1P+λFTF)x(t)＜0，

當x(t)∈Ω1時，則(x(t))＜0。

同樣，當x(t)∈Ω1＼Ω2時，

(x(t))=x(t)(AT2P+PA2+1λPEETP+λFTF)x(t)+λxT(t－τ)(FT2F2－FTF)x(t－τ)+1λxT(t)P(E2ET2－EET)Px(t)

由于FT2F2≤FTF，E2ET2≤EET，

所以xT(t－τ)(FT2F2－FTF)x(t－τ)≤0，xT(t)P(E2ET2－EET)Px(t)≤0，

由已知條件x(t)(aT2P+PA2+1λPEETP+λFTF)x(t)＜0，

當x(t)∈Ω1＼Ω2時，則(x(t))＜0。

綜上，在切換律(7)下，沿系統(1)的軌線恒有(x(t))＜0。

因此，系統(1)在切換律(7)下是漸近穩定的。

三、結論

本文基于單Lyapunov泛函理論，利用凸組合方法，設計了一類依賴于狀態的切換信號，得到切換時滯系統穩定的充分條件。

［參考文獻］

［1］Vu，Liberzon D.Common Lyapunov functions for a families of commuting nonlinear systems.Systems Control Letter，2005，54(5).

［2］蘇宏業、褚健、魯仁全、嵇小輔：《不確定時滯系統的魯棒控制理論》，北京科學出版社2007年版。

［3］Shorten R N，Narendera K S，Mason O.A result on common quadratic Lyapunov functions.IEEE Trans on Automatic control，2003， 48(1).

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