物理學中“面積”之妙用

摘要：教材內容雖然是有一定結論的知識，但在解決實際問題時，應靈活、多角度地應用這些知識，以培養和提高學生的分析問題、解決問題的能力，進一步提高學習效率。

關鍵詞：物理情景；“面積”；圖像意義

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A文章編號：1003-6148(2008)4(S)-0021-2

在物理知識的認知、掌握上，對于物理某個過程變化、規律的描述，人們常常采用數學和圖像兩種方法表達。應用方法圖像時，在明確其物理意義的前提下，若用物理圖線與坐標軸圍成的“面積”來分析解決物理問題，不但形象直觀，而且可以化難為易，出奇制勝，提高學習效率，物理意義上的“面積”更顯示出其優越性。下面僅舉幾個例子加以說明。

例1 做勻變速直線運動的物體，在各個連續相等的時間T內的位移分別是s1、s2、s3…。

試證明：Δs=s2-s1=s3-s2=…

=sn-sn-1=at2。

證明：如圖1所示，作物體的v-t圖像，兩個連續相等時間T內位移之差為圖中畫有斜線的矩形面積，其數值為Δs=T×Ttanα=aT2。

此題用圖像證明上述結論同樣適用初速度為零的勻加速直線運動及勻減速直線運動。

例2 物體從A到B作勻變速直線運動，在中間位置的速度為v1，它在中間時刻的速度為v2，則（ ）

A.在作勻加速運動時，v1>v2。

B.在作勻加速運動時，v1

C.在作勻減速運動時，v1>v2。

D.在作勻減速運動時，v1

解析 先作出勻加速直線運動和勻減速直線運動的v-t圖像，如圖2所示。橫坐標t的中點t2的速度即中間時刻的速度v2，而中間位置則要求二個梯形面積必須相等，故物體在中間位置的時刻在圖2(a)中應在t2的右側，在圖2（b）中應在t2的左側，其對應速度為v1。從圖上很直觀地看出無論是勻加速還是勻減速，均有v1>v2。故應選A、C。



例3 兩輛完全相同的汽車，沿水平直路一前一后勻速行駛，速度均為v0，若前車突然以恒定的加速度剎車，在它剛停止時，后車以前車剎車時的加速度開始剎車。若前車在剎車過程中行駛距離為s，在上述過程中要使兩車不相撞，則兩車在勻速運動時，保持的距離至少應為（ ）

A.s。B.2s。

C.3s。D.4s。

解析 前車剎車后，兩車運動的v-t圖像如圖3所示，要使兩車不相撞，則兩車勻速行駛時保持的距離應不小于前車剎車后兩車的位移之差，即圖中陰影部分的“面積”，該“面積”很顯然為前車位移s的兩倍，故應選B。

例4 如圖4（a）所示，一質量為M，長為l的長方形木板B放在光滑水平地面上，在其右端放一質量為m的小木塊A，m

解析 （1）由系統動量守恒得：

Mv0-mv0=(M+m)v，

v=(M-m)(M+m)v0。①

因M>m，可知v的方向水平向右。

（2）A、B運動的v-t圖像如圖4（b）所示，當A到達B的左端時，A相對B運動的距離為△abc的“面積”，

即l=12(2v0)t=v0t。②

當A向左運動對地速度為零時，到達最遠處，且離出發點的距離s對應△aod的面積，即：

s=12v0t1。③

由圖可知△aod∽△aec，

則t1t=v0v0+v。④

聯立以上各式解得：s=M+m4Ml。

例5 從地面上以速度v1豎直向上拋出一皮球，皮球落地時速度為v2，若皮球運動過程中所受空氣阻力的大小與其速率成正比，試求皮球從開始上升到落地的整個過程中所經歷的時間。

解析 此類問題為變力問題，由于空氣的阻力f與皮球的速率成正比，故v-t圖像與f-t圖像類似，如圖5所示，由于皮球在上升和下落過程中所經達的位移大小相等，則v-t圖像中兩部分陰影面積（位移大小）相等。而f-t圖像中兩部分陰影的面積分別表示上升過程和下降過程中空氣阻力對球的沖量，故這兩個沖量值大小也相等，方向相反，則在球的整個運動過程中，空氣阻力對皮球的總沖量為零。因此，根據動量定理，以皮球為研究對象，以t為運動的總時間，對于整個過程而言，對皮球的總的力的沖量作用中，阻力的沖量為零，重力的沖量不為零，則

mgt=mv2-(-mv1)，

t=(v1+v2)/g。

參考文獻

人民教育出版社.全日制普通高級中學物理（必修）第一冊.2001

(欄目編輯黃懋恩)

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。