改頭換面 三角函數法

三角函數是初等函數中至關重要的函數，它和代數、幾何、向量等內容有著非常密切的聯系． 三角函數的概念、性質、最值、圖象、三角求值及三角變換等，均是高考數學的主要考查內容． 三角函數本身也是解決高中數學中一些數學分支問題的重要方法之一，在很多非三角函數知識方面有著非常廣泛和巧妙的應用．

一、函數性質問題

例1判斷函數

f（x）＝的奇偶性．

解析：在判斷某些函數的單調性、奇偶性、周期性時，往往可以把相應的函數巧妙地轉化為三角函數，通過三角函數的性質與變換加以處理．

對于此題，可以通過三角函數代換，將較復雜的f（x）的表達式用三角函數來表示，形式會簡單明了，再利用反正切函數及正切函數的奇偶性能夠很快得出f（－x）＝－f（x）．

由條件知x∈R，故可設x＝tanα，α∈

－

，，則f（x）＝＝，因為α∈

－

，，所以secα＝＞0． 進而可知f（x）＝＝＝tan＝tan

. 所以f（－x）＝tan

＝tan

＝ －tan

＝－f（x），故f（x）為奇函數．

點評：類似這樣的函數奇偶性判斷的題型非常常見， f（x）本身表達式較為復雜，化簡又相當不便，還容易導致不必要的錯誤． 若結合三角變換，可以非常巧妙地拓寬思維．

二、不等式證明問題

例2設三角形三邊a，b，c滿足a2＋b2＝c2． 求證：當n≥3且n∈N時，an＋bn＜cn．

證明：對于一些在給定特殊條件下需要證明的不等式問題，如果能夠通過已知條件巧妙地進行三角代換，利用三角函數的知識來證明相應的不等式問題，通常會達到意想不到的效果．

根據條件a2＋b2＝c2，可以把問題轉化為三角函數問題，結合三角函數的取值情況加以分析與證明．

設a＝ccosθ，b＝csinθ，0＜θ＜，因為0＜cosθ＜1且n≥3，所以cosnθ≤cos3θ＜cos2θ，同理sinnθ＜sin2θ，則an＋bn＝cn·（cosnθ＋sinnθ）＜cn（cos2θ＋sin2θ）＝cn，即所證的不等式成立．

點評：在分析不等式或其他相關問題中，若碰到相應的條件是a2±b2＝r2等，經常可考慮通過三角代換，利用三角函數的相關知識來巧妙處理對應的問題．特別對于以上特別情況（n≥3且n∈N）的不等式問題，通過三角代換會達到非常好的效果．

三、無理函數值域問題

例3求函數y＝5＋的值域．

解析：在求解無理函數值域問題中，許多同學往往無從下手． 其實如果通過三角代換，結合三角函數的變換，往往可以將無理函數轉化為有理函數． 無理函數一旦換元成為三角函數后，很容易求最大值和最小值，無須利用其他的特殊技巧．

對于此題，我們通過三角函數換元法，把無理函數轉化為三角函數，通過三角函數的角度來討論相關的無理函數的值域．

x的取值范圍是1≤x≤10，令x＝＋cosα，0≤α≤π，則y＝5＋＝5＋＝15cos＋3sin＝3sin

＋φ（0≤≤，φ＝arctan5）．

因為arctan5≤＋φ≤＋arctan5，所以≤sin

＋φ≤1，從而3≤y≤3，所求值域是y∈［3，3］．

點評：一般在a≤x≤b的條件下，可以考慮三角換元法x＝＋cosα，其中α∈［0，π］，限定α的范圍是為了保證x與α一一對應和化簡方便．這樣處理后，就可以將無理函數轉化為相關的三角函數來處理，從而巧妙求解無理函數值域．

四、代數式取值范圍問題

例4已知點P（x，y）是圓x2＋y2＝2y上的動點．

（Ⅰ）求2x＋y的取值范圍；

（Ⅱ）若x＋y＋a≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

解析：在解決一些代數式或參數的取值范圍時，往往可以結合已知條件轉化為三角函數問題，再結合三角函數自身的取值范圍的特征加以巧妙轉化. 這是解決一些平面解析幾何問題的常見方法．

此題我們結合圓的方程與三角代換，可以轉化為解決三角函數的問題，再通過對三角函數最值問題的分析與求解來探討相關的代數式和參數的取值范圍問題．

（Ⅰ）由x2＋y2＝2y得x2＋（y－1）2＝1，設x＝cosθ，y＝1＋sinθ，0≤θ＜2π，則2x＋y＝2cosθ＋sinθ＋1＝sin（θ＋φ）＋1，所以 －＋1≤2x＋y≤＋1；

（Ⅱ）由于x＋y＋a＝cosθ＋sinθ＋1＋a≥0，即a≥－（cosθ＋sinθ）－1＝－sin（θ＋）－1，所以a≥－－1．

點評：在解決一些平面解析幾何中與圓、橢圓、雙曲線、拋物線相關的代數式取值時，往往可以巧妙地對相應的條件進行三角代換，把問題轉化為相應的三角函數問題，然后通過三角函數式的最值問題來解決相應的代數式或參數的取值范圍問題．

五、平面圖形應用問題

例5已知矩形ABCD的長AB＝a，寬AD＝b（如圖1所示），求其外接矩形EFGH面積的最大值與對角線長的最大值．

[H][D][E][A][C][G][a][b][B][F][α]

圖1

解析：在解決一些平面幾何的最值問題時，我們往往可以巧妙引入三角函數，通過三角函數解決相應的平面幾何應用問題．

對于此題，我們需要引入一個相應的角，把平面幾何的問題轉化為三角函數的問題，通過討論相應的三角函數式來求解最值問題．

設∠BAF＝α（0＜α＜），則∠EDA＝α，EA＝bsinα，AF＝acosα，DE＝bcosα，HD＝asinα，所以SEFGH＝（bsinα＋acosα）（bcosα＋asinα）＝a2sinαcosα＋absin2α＋abcos2α＋b2sinαcosα＝（a2＋b2）sin2α＋ab．

由－1≤sin2α≤1知，當α＝時，面積最大值為（a2＋b2）．

又EG2＝（bsinα＋acosα）2＋（bcosα＋asinα）2＝a2＋b2＋2absin2α，所以當α＝時，對角線長取得最大值為a＋b．

例6如圖2，ABCD是一塊邊長為100米的正方形地皮，其中ATPS是一半徑為90米的扇形小山，P是弧TS上一點，其余部分都是平地，現一開發(fā)商想在平地上建造一個有邊落在BC與CD上的長方形停車場PQCR，求長方形停車場的最大值與最小值．

[Q][C][R][D][S][P][B][T][A]

圖2

解析：連結AP，設∠PAB=θ（0<α<），延長RP交AB于M，則AM=90cosθ，MP=90sinθ，PQ=MB=AB－AM=100－90cosθ，PR=MR－MP=100－90sinθ，故矩形PQCR的面積S=PQ·PR=（100－90cosθ）（100－90sinθ）=10000－9000（sinθ+cosθ）+8100sinθcosθ，設t=cosθ+sinθ，則t=sinθ＋

，t∈（1，］，則sinθcosθ=（t2－1），所以S=4050t－

+950，故當t=時，Smin=950（m2）；當t=時，Smax=14050－9000（m2）．

點評：解數學應用題的關鍵是數學建模，而此題通過三角函數建模. 設定角α后就建立了矩形面積與對角線長度的函數，通過三角函數的最值問題來確定平面幾何的相關問題，由三角函數的最大值求得所給問題的解．

在高中數學中，三角代換的方法是最為常用的方法之一. 由于三角換元本身與三角函數不可割舍的聯系，換元法在三角函數方面及其他數學知識中顯得特別活躍，應用在解題中常常有意想不到的收獲． 涉及幾何圖形的最值問題往往也用三角函數處理．