歸納遞推 探索層層規

數學歸納法是一種很重要的證明方法，其實質就是遞推思想. 我們只要把握住遞推關系，就能巧妙地對命題進行轉換. 數學歸納法在證明和計算與自然數有關的試題中往往行之有效，并常常用在恒等式、不等式、數列的通項與和、幾何圖形的證明中． 而“歸納”“猜想”“證明”是數學歸納法所體現出的比較突出的思想．

在應用數學歸納法的過程中，還要注意兩個問題：（1）不能忽略為歸納而奠基的重要性（驗證當n取此命題的“最小自然數”n0時命題成立）；（2）要正確使用從k到k+1的推理過程中的歸納假設，靈活運用“兩湊”技巧. 下面筆者通過幾個例題，揭示數學歸納法在解題過程中的應用技巧．

一、巧證恒等式

例1已知f（n）＝1＋＋＋…＋，求證：n＋f（1）＋f（2）＋…＋f（n－1）＝nf（n）（n≥2，n∈N#8727;）．

證明：（1）當n＝2時，左邊＝2＋f（1）＝3，右邊＝2f（2）＝2

1＋＝3． 所以當n＝2時，等式成立．

（2）假設當n＝k時，等式成立，即k＋f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＝kf（k）．

考查n＝k＋1的情形，k＋1＋f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）＋f（k）＝［k＋f（1）＋f（2）＋…＋f（k－1）］＋［1＋f（k）］＝（k＋1）f（k）＋1＝（k＋1）f（k＋1）

－＋1＝（k＋1）f（k＋1）． 所以當n＝k＋1時，等式也成立．

綜合（1）（2）知，對于一切大于等于2的正整數n，等式成立．

點評：本題欲求證的等式是與自然數n有關的命題，直接證明有困難，故可考慮用數學歸納法來證明． 但首先弄清第一項f（2）＝1＋，其次在第（2）步的證明中f（k）用f（k＋1）－代換，是因為所要證的等式含有f（k＋1）．

二、巧證不等式

例2求證：對任意n=1，2，3，…n，不等式

≥恒成立．

證明：（1）當n=1時，不等式左邊=，原不等式顯然成立.

（2）假設n＝k（k∈N#8727;）時，原不等式成立，即

≥，當n＝k＋1時，

＝·≥·＞，即n＝k＋1時，原不等式也成立.

根據（1）（2）可以知道，原不等式對一切非零自然數都成立.

例3設正整數數列｛an｝滿足：a2＝4，且對于任何n∈N#8727;，2＋＜＜2＋成立．

（Ⅰ）求a1，a3；

（Ⅱ）求數列｛an｝的通項an．

解析：（Ⅰ）據條件得2＋＜n（n＋1）

＋

＜2＋（#8727;）.

當n＝1時，由2＋＜2

＋

＜2＋，即有2＋＜＋＜2＋，解得＜a1＜． 因為a1為正整數，故a1＝1．

當n＝2時，由2＋＜6

＋

＜2＋，解得8＜a3＜10，所以a3＝9．

（Ⅱ）由a1＝1，a2＝4，a3＝9，猜想an＝n2． 下面用數學歸納法證明

①當n＝1，2，3時，由（Ⅰ）知an＝n2均成立；

②假設n＝k（k≥3）成立，則ak＝k2.當n＝k＋1時，由（#8727;）得2＋＜k（k＋1）

＋

＜2＋#8658;＜ak＋1＜#8658;（k＋1）2－＜ak＋1＜（k＋1）2＋，因為k≥3時，（k2-k＋1）－（k＋1）＝k（k-2）>0，所以∈（0，1）． k－1≥2，所以∈（0，1）．

又ak＋1∈N#8727;，所以（k＋1）2≤ak＋1≤（k＋1）2． 故ak＋1＝（k＋1）2，即n＝k＋1時，an＝n2成立．

由①②知，對任意n∈N#8727;，an＝n2．

點評：通過“歸納——猜想——證明”的步驟解題是證明數列通項的一種方法，具有探索性． 本題在用數學歸納法證明數列通項公式時，根據待證式子的結構，綜合了證明不等式的常見方法——放縮法和分析法． 證明不等式的常見方法，如比較法、放縮法、分析法、反證法等也是在用數學歸納法證明不等式時常用的方法．

三、巧證幾何題

例4有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，并且每三個圓都不相交于同一點，求證：這n個圓把平面分成f（n）＝n2－n＋2個部分．

證明：（1）當n＝1時，即每個圓把平面分成2個部分， f（1）＝2，又n＝1時，n2－n＋2＝2，所以命題成立．

（2）假設n＝k時，命題成立，即k個圓把平面分成f（k）＝k2－k＋2個部分． 那么，當n＝k＋1時，記第k＋1個圓為⊙O． 由題意，⊙O與其他k個圓相交于2k個點，這2k個點把⊙O分成2k條弧，而每條弧把原區域分成2個部分，因此這個平面被圓分成的部分增加了2k個部分，即f（k＋1）＝f（k）＋2k＝k2－k＋2＋2k＝（k＋1）2－（k＋1）＋2，也即n＝k＋1時，命題成立．

由（1）（2）知，對任意n∈N#8727;，命題均成立．

點評：本題的難點是如何考慮由k到k＋1時平面多出部分，借助圖形的直觀性，可以知道平面多出的部分總是由多出的弧段將原部分一分為二形成的，因此問題轉化為增加第n＋1個圓時，平面內增加了多少段弧． 進一步，第k＋1個圓被分成了多少段弧，是由第k＋1個圓與前k個圓相交的交點個數確定的，這就到了假設的結論．通常用數學歸納法證明與正整數n有關的幾何命題，由k到k＋1時常采用幾何圖形來分析幾何圖形前后的演變情況．

四、巧解數列題

例5在數列｛an｝與｛bn｝中，a1＝1，b1＝4，數列｛an｝的前n項和Sn滿足nSn＋1－（n＋3）Sn＝0，2an＋1為bn與bn＋1的等比中項，n∈N#8727;．

（Ⅰ）求a2，b2的值；

（Ⅱ）求數列｛an｝與｛bn｝的通項公式．

解析：（Ⅰ）由題設有a1＋a2－4a1＝0，a1＝1，解得a2＝3． 由題設又有4a＝b2b1，b1＝4，解得b2＝9．

（Ⅱ）由題設nSn＋1－（n＋3）Sn＝0，a1＝1，b1＝4及a2＝3，b2＝9，進一步可得a3＝6，b3＝16，a4＝10，b4＝25，猜想an＝，bn＝（n＋1）2，n∈N#8727;．

先證an＝，n∈N#8727;．

當n＝1時，a1＝，等式成立．

當n≥2時用數學歸納法證明如下：

（1）當n＝2時，a2＝，等式成立．

（2）假設當n＝k時等式成立，即ak＝，k≥2． 由題設得：

kSk＋1＝（k＋3）Sk …… ①

（k－1）Sk＝（k＋2）Sk－1 …… ②

①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得kak＋1＝（k＋2）ak，從而

ak＋1＝ak＝·＝．

這就是說，當n＝k＋1時等式也成立． 根據（1）（2）可知，等式an＝對任何的n≥2成立．

綜上所述，等式an＝對任何的n∈N#8727;都成立．

再用數學歸納法證明bn＝（n＋1）2，n∈N#8727;．

（3）當n＝1時，b1＝（1＋1）2，等式成立．

（4）假設當n＝k時等式成立，即bk＝（k＋1）2，那么bk＋1＝＝＝［（k＋1）＋1］2．

這就是說，當n＝k＋1時等式也成立． 根據（3）（4）可知，等式bn＝（n＋1）2對任何的n∈N#8727;都成立．

點評：已知數列的前面若干項，想要歸納出一個規律，就要求同學們能夠對數字敏感，敏感地把握數字之間的聯系，尋找到關系式．