柯西均值法 證分式不等式的靈丹妙藥

內容提要：本文將柯西不等式

aibi2與均值不等式≤

γ≤（γ≥1）聯合使用，使一類分式不等式的證明變得十分簡捷． 這種證明方法操作程序固定，易于掌握．

眾所周知，柯西不等式（a+a+…+a）（b+b+…+b）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2（ai∈R，bi∈R，ai=kbi時取等號，i=1，2，3，…，n）與均值不等式≤

γ≤（ai∈R+，i=1，2，3，…，n，a1=a2=…=an時取等號，γ≥1）在不等式的證明中有著十分重要的作用． 本文將這兩個重要的不等式聯合使用，使一類分式不等式的證明變得十分簡捷． 我們把這種證明方法稱為柯西均值法． 下面，我們用一些具體的例子來說明這種方法的操作程序．

例1（第36屆IMO試題的推廣）設正實數a，b，c滿足條件abc=1，n∈N*，試證：

＋＋≥．

證明：用a2nb2nc2n替換所證不等式左邊的分子1，所證不等式變形為＋＋≥． 由柯西不等式和均值不等式，·［a（b＋c）＋b（c＋a）＋c（a＋b）］≥［（bc）n＋（ca）n＋（ab）n］2≥3

2=（bc＋ca＋ab）2n．

由此，得＋＋≥（bc＋ca＋ab）2n-1≥［3］2n-1=·32n-1=．

所以，原不等式成立．

例2（第28屆IMO預選題）設a，b，c是三角形的三邊，a+b+c=2S，試證：++≥

n-2Sn-1（n∈N*）．

證明：當n=1時，++≥顯然成立． 當n≥2時，由柯西不等式和均值不等式，得

（b＋c）＋（c＋a）＋（a＋b）］≥a

例3（第31屆IMO預選題）設正實數a，b，c，d滿足條件ab+bc+cd+ad=1，試證：+++≥．

證明：由已知條件ab+bc+cd+ad=1，得（a＋c）（b＋d）=1，b+d=． 由柯西不等式和均值不等式，得

由此得+++≥（a+b+c+d）2=a+c

+2≥·4=．

例4（1984年全國高中數學競賽題的推廣）設xi∈R+（i=1，2，3，…，n），x1x2x3·…·xn=1，α≥2，試證：+++…++≥n．

證明：由柯西不等式和均值不等式，得

＋＋＋…＋＋≥（x1＋x2＋x3＋…＋xn）α-1

≥（n）α-1==n．

例5設xi∈R+（i=1，2，3，…，n），xi=a，α≥2，試證：+++…+≥．

證明：由柯西不等式和均值不等式，得

［（a－x1）＋（a－x2）＋（a－x3）＋…＋（a－xn）］≥x

2=（x1+x2+x3+…+xn）α=aα……（*）

其中，（a－x1）＋（a－x2）＋（a－x3）＋…＋（a－xn）＝na－（x1+x2+x3＋…＋xn）＝（n－1）a．

將此結論代入（*）式整理得+++…+≥．

例6設正實數x1，x2，x3，…，xn滿足條件x1x2x3…xn=1，α∈R且α≥3，n∈N且n≥3，試證：+++…+≥，其中∑i表示從x1，x2，x3，…，xn中任取n-2個作乘積，所有可能情況的積之和，共有n-1個項（i＝1，2，3，…，n）．

證明：xxx·…·x替換所證不等式左邊分子的1，所證不等式變形為+++…+≥①

設①式左邊為M，則由柯西不等式和均值不等式，得

M（x1∑1＋x2∑2＋x3∑3＋…＋xn∑n）≥ （x2x3x4…xn）+（x1x3x4…xn）+（x1x2x4…xn）+…+（x1x2x3…xn-1） 2≥（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）α-1②

其中，x1∑1+x2∑2+x3∑3+…+xn∑n=

x1（+++…+）+x2（+++…+）+x3（++…+++）+…+xn-1（++…++）+xn（+++…++）=（n-1）（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）．

將此結果代入②式，得

M≥·（x2x3x4…xn+x1x3x4…xn+x1x2x4…xn+…+x1x2x3…xn-1）α-2

一般地，對于形如+++…+≥p的分式不等式，當α≥2，Ai>0，∑i>0，i=1，2，3，…，n，k>0，p>0且∑1+∑2+∑3+…+∑n=k（A1+A2+A3+…+An）時，都可以考慮利用本文提供的柯西均值法去思考它的證明.