向量法 證明不等式的不二選擇

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數乘運算都沒有發生改變. 若在歐式空間中規定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數量積的運算，則高中階段的向量即為n=2，3時的情況．

設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=（x1，x2，…，xn），b=（y1，y2，…，yn）（xi，yi∈R，i=1，…，n）

規定a·b=（x1，x2，…，xn）·（y1，y2，…，yn）=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

（注：a·b可記為（a，b），表示兩向量的內積），有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式．

一、利用向量模的和與和向量的模的不等式（即

例1設a，b，c∈R+，求證：（a+b+c）≤++≤.

證明：先證左邊，設m=（a，b），n=（b，c），p=（c，a），

則由

綜上，原不等式成立．

點評：利用向量模的和不小于和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數量積建立不等式證明右邊．

二、利用數量積不等式（即a·b≤

例2設a1，a2…，an及b1，b2，…，bn為任意實數，求證：

（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）.

當且僅當==…=時等號成立. （柯西不等式）

證明：令m=（a1，a2，…，an），n=（b1，b2，…，bn），

由于m·n≤

aibi≤·.

即（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a+a+…+a）（b+b+…+b）.

等號成立當且僅當m與n共線，即==…=.

點評：由此可以發現柯西不等式所能證明的不等式都可以通過構造向量來證明．

例3（1986年全國高中數學競賽題）在△ABC中，外接圓的半徑R=1，面積S△ABC=. 求證：++<++.

證明：S△ABC=absinC=ab·=abc=，故abc=1，則只需證++<++.

當且僅當m與n共線，等號成立，即a=b=c=，與S△ABC=矛盾．

故++<++.

點評：不等號的方向可以給我們構造向量指明方向．

例4設n是大于1的自然數，求證：

+2+…+n·<.

證明：令p＝（1，2，…，n），q＝（，，…，）.

左邊=p·q，由p·q≤

=·. 只需證加強命題·<.

當n≥4時，上式顯然成立．

驗證n=2，n=3時，原不等式也成立．

綜上，i<.

點評：不等式的左邊使我們想到了兩向量的數量積形式．

例5（第24屆全蘇奧林匹克競賽題）設ai>0（i=1，2，…n），滿足ai=1. 求證：

·（a1+a2+a2+a3+…+an+a1）

故++…+≥.

點評：（1）不等號的方向使不等式的左邊應為向量模的乘積的形式，再結合右邊的常數及已知和為常數可得證；

（2）此題還有其他的證法，例如可以用平均值不等式．

例6（2002年全國女子競賽題）設p1，p2，…，pn是1，2，…，n的任意排列． 求證：

即++…+≥≥>=.

綜上++…++>.

點評：由不等號的方向和左邊分母的和為定值聯想到構造向量．

例7（26屆莫斯科奧林匹克競賽題）若a，b，c∈R+，證明：++≥.

證明：令m=

故++≥．

由（a+b+c）2≥3（ab＋bc＋ca）可得

++≥．

點評：（1）該題在構造向量時，與以上諸題有所不同；

（2）該題可推廣為，設a，b，c為三角形的三邊長，且λ>0，λ≥μ>0，則≤＋＋<.

參考文獻

（1）李勝宏著． 《平均值不等式與柯西不等式》． 華東師范大學出版社，2005年.

（2）李鐵烽． 構造向量證三元分式不等式． 數學通報．2004年2月.

（3）沈文選、張垚、冷崗松著． 《奧賽經典》． 湖南師范大學出版社． 2004年.