角平分線性質的應用

我們知道，關于角平分線有如下性質：

（1）角平分線上的點到角的兩邊距離相等.

（2）在一個角的內部且到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上.

靈活運用上面這兩個性質，可以簡便地解決許多問題.

一、性質(1)單獨亮相

例1如圖1，已知CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∠1=∠2，CD、BE交于O點.求證：OB=OC.

分析：由∠1=∠2，CD⊥AB，BE⊥AC，可知OE=OD，然后再證△BDO≌△CEO.

證明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∠1=∠2，

∴OE=OD.

又∵∠BDO=∠CEO=90°，∠BOD=∠COE，

∴△BDO≌△CEO（ASA），OB=OC.

點評：角平分線的性質常用來證明線段相等的相關問題.本題中由角平分線的性質直接得到OE=OD，顯然比證明△OAE≌△OAD來說明OE=OD要簡便.

例2 如圖2，OC平分∠AOB，P是OC上一點，D是OA上一點，E是OB上一點，且PD=PE.求證：∠PDO+∠PEO=180°.

分析：∠PDO、∠PEO在圖形的不同位置，又無平行線使它們聯系起來，要證∠PDO+∠PEO=180°，若設法把其中的一個角轉化為另一個角的鄰補角，問題便可以解決.由于OC是角平分線，故可過點P作兩邊的垂線，構造出兩個直角三角形，再利用HL證明這兩個直角三角形全等即可.證明略.

點評：遇到角平分線問題，可以過角平分線上的一點向這個角的兩邊引垂線，以便充分運用角平分線的性質.

二、性質（2）單獨亮相

例3如圖3，直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，交點分別為A、B、C.現要建一個貨物中轉站，要求它到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有幾處？請標在圖中，并說明理由.

分析：因為到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上，所以可供選擇的地址在這三條直線所圍成的△ABC的內角平分線的交點處，或在這個三角形的外角平分線的交點處.

解：如圖4，作∠BAC、∠ABC的平分線，交于點P4，則點P4到直線l1、l2、l3的距離相等，理由是角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等.同理，作△ABC的外角平分線，分別交于點P1、P2、P3，則點P1、P2、P3各點到直線l1、l2、l3的距離也相等.

所以，可供選擇的地址有P1、P2、P3、P4共四處.

點評：性質（2）常用來解決或證明距離相等的相關問題.由本題可以得到“三角形的一內角平分線與另外兩個不相鄰外角的平分線交于一點”，比如P1，它到AC和BC所在直線的距離相等，故它在∠ACB的平分線上.有時利用它解題更簡潔.并且還可證得點P4在∠ACB的平分線上（因P4到AC、BC的距離相等），即“三角形三個內角的平分線交于一點”.

三、性質（1），性質（2）財時亮相

例4如圖5，PA、PC分別是△ABC外角∠MAC與∠NCA的平分線，它們交于點P.求證：BP平分∠MBN.

分析：如圖6，作PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.要證BP平分∠MBN，只需證PD=PF.而PA、PC為外角平分線，故可過P作PE⊥AC于E.根據角平分線性質有PD=PE，PF=PE，則有PD=PF，故問題得證.證明略.

點評：本題通過作PE⊥AC于E，溝通了性質（1）及性質（2）.當題目中有角平分線的交點時，常過交點作有關邊的垂線，以尋找解題思路.

例5如圖7，△ABC中，BD、CD平分∠ABC、∠ACB，CE⊥BD交BD的延長線于點E.求證：∠DCE=∠CAD.

解：由BD、CD平分∠ABC、∠ACB，可得AD平分∠BAC.于是可設∠1=∠2=x，∠3=∠4=y，∠5=∠6=z.由三角形內角和定理得x+y+z=90°，于是∠CAD=z=90°-（x+y），只需證出∠DCE=90°-（x+y）即可.

∵CE⊥BD，

∴∠DCE=90°-∠EDC=90°-（∠2+∠3）=90°-（x+y）.

∴∠DCE=∠CAD.

點評：這種設角并利用角的表達式證明的思路，體現了代數法解幾何題的思想，值得重視.

跟蹤練習

如圖8，在△ABC中，AD是∠A的平分線， DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.求證：AD⊥EF.

提示：先證△AED≌△AFD，得AE=AF.再證△AEO≌△AFO，則∠AOE=∠AOF=90°.