與垂直平分線有關的計算題

與垂直平分線有關的計算題主要有兩類，一類是關于邊長和周長的計算，一類是關于角的計算．要熟練解決與垂直平分線有關的計算題，關鍵是要掌握垂直平分線的性質以及有關的結論．

如圖1所示，在△ABC中，DE是BC邊上的垂直平分線，有以下結論（根據垂直平分線的性質很容易證明）.

1．關于邊長和周長的結論：

（1）BE=CE；（2）BD=CD=1/2BC；（3）AB=AE+CE；（4）△AEC的周長=AC+AB；（5）△ABC的周長=△AEC的周長+BC．

2．關于角的結論：

（1）∠BED=∠CED；（2）∠B=∠BCE=1/2∠AEC．

一、關于邊長和周長的計算題舉例

例1如圖2，在△ABC中，AC的垂直平分線交BC于E，交AC于D.△ABE的周長是16 cm，AC=6 cm.（1）求AB+BE+EC的長度；（2）求△ABC的周長．

解析：（1）因DE是AC的垂直平分線，故AE=CE.

∵△ABE的周長是16 cm，

∴AB+BE+EC=AB+BE+AE=16（cm）.

（2）由（1）的結論及AC=6 cm，可求得△ABC的周長=AB+BE+EC+AC=22（cm）.

點評：這是一道與垂直平分線有關的經典題．解題時，需要運用AE=CE這一結論．與此題類似，還可以作出邊AB、BC的垂直平分線，并設計出類似的問題．

例2如圖3，在△ABC中， AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E.△BCE的周長等于16 cm.（1）若BC=7 cm，求AC的長；（2）若AC的長為9.6 cm，求BC的長．

解析：（1）∵DE是AB的垂直平分線，

∴AE=BE.

∴AC=AE+EC=BE+EC=16-7=9（cm）．

（2）由（1）可知BC=16-9.6=6.4（cm）.

點評：這道題的兩個小題，解決思路是“互逆”的，但所用的基本結論是一樣的．

與垂直平分線相關的邊長和周長的計算題，往往只涉及垂直平分線的性質的基本應用，一般運用上述結論即可解決．

練習

1. 如圖3，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、AC于D、E.如果AC=5 cm，BC=4 cm，則△BEC的周長是（）.

A． 9 cm B． 13 cm C． 14 cm D． 13 cm或14 cm

2. 如圖3，在△ABC中，已知AC=27.AB的垂直平分線交AB于點D，交AC于點E.△BEC的周長等于40.求BC的長.

二、關于角的計算題舉例

例3如圖4，在△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線.（1）試分別寫出與∠B、∠C相等的角；（2）若∠BAC=100°，則∠EAG等于多少？

解析：（1）∵DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線，

∴AE=BE，AG=CG.

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG.

（2）由（1）可知，∠EAG=∠BAC-（∠BAE+∠CAG）=∠BAC-（∠B+∠C）=100°-（180°-100°）=20°.

點評：這是一道典型的與垂直平分線有關的角的計算題.與上面邊長和周長的計算題一樣，關于角的計算題，依然涉及垂直平分線的性質的應用，解題時需要運用到垂直平分線的性質中關于角的基本結論.

練習

3. 如圖3，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB、AC于D、E.若∠BEC=100°，則∠A=______．

4. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC>BC.AB的垂直平分線與AC相交于E點，連接BE.若∠CBE∶∠EBA=1∶4，則∠A=_____，∠ABC=___.

三、綜合題舉例

例4如圖5，在△ABC中， AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E， AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G. 且BC=12，∠BAC=120°.（1）求△AEG的周長；（2）求∠EAG的大小；（3） 若AB=AC，試判斷△AEG的形狀.

解析：（1）∵DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線，

∴AE=BE，AG=CG.

∴△AEG的周長=BE+EG+CG=BC=12.

（2）∵DE、FG分別是AB、AC的垂直平分線，

∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAG.

∴∠EAG=120°-（∠B+∠C）=120°-（180°-120°）=60°.

（3）由AB=AC，可得∠B=∠C=30°.

∴∠AEG=∠AGE=60°.

∴△AEG為等邊三角形．

點評：這道題既有邊長和周長的計算，也有角的計算，是一道與垂直平分線相關的綜合計算題．其中涉及到的解題思路（如求∠EAG），在前面的例題中已有體現．

例5如圖6，在Rt△ABC中，斜邊AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E．若BE=2，∠B =15°，求直角邊AC的長．

解析：如圖7，連接AE.

∵DE是AB的垂直平分線，

∴AE=BE=2，且∠AEC =2∠B=30°.

在Rt△AEC中，由“直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半”，可求得AC=1.

點評：這道題相對于例4來說，不僅有與垂直平分線相關的計算，而且還有與其他數學知識的綜合運用.

練習

5. 如圖4，在△ABC中，DE、FG分別是邊AB、AC的垂直平分線.若BC=a，請用含a的式子表示△AEG的周長.

6. 如圖8，△ABC中， AB的垂直平分線分別交AB、BC于點D、E， AC的垂直平分線分別交AC、BC于點F、G.（1）若∠BAC =75°，求∠EAG的大??；（2）若BC=20，GE=8，求△AEG的周長.

7. 如圖3，在△ABC中，AC=a，AB的垂直平分線DE交AC于點E.若△BCE的周長為m，求證：BC=m-a.

綜上所述，與垂直平分線相關的計算題，基本題型變化不大.此時，只要牢牢把握住垂直平分線的性質和基本結論，就能順利地解決問題.