趣談勾股定理

我國古人很早就發現了“勾三股四弦五”.當時把較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦.“勾三股四弦五”的意思是，在直角三角形中，如果勾為3，股為 4，那么弦為5.所以我國稱反映勾、股、弦長度之間的數量關系的一個命題為勾股定理.西方國家稱勾股定理為畢達哥拉斯定理.

[一、有趣的勾股樹]

例1如圖1，四邊形A、B、C、D、E、F、H都是正方形，圖中所有的三角形都是直角三角形.其中最大的正方形H的邊長為7 cm，則正方形A、B、C、D的面積之和為工科cm2.

分析：這個圖形是勾股樹的一部分.根據勾股定理，易得SA+SB=SE，SC+SD=SF，SE+SF=SH.

∴SA+SB+SC+SD=SH=7×7=49（cm2）.

解：正方形A、B、C、D的面積之和為49 cm2.

總結：這里的H相當于是樹干，A、B、C、D、E、F等相當于是樹枝.還可以向外面繼續延伸畫勾股樹.由以上分析可以知道，對勾股樹來說，最外面的正方形的面積的和=最大的正方形的面積.大家可以思考一個與本題有關的問題，即所有正方形的面積之和是多少.

[二、勾股數中的規律]

例2觀察下列表格：

請你結合表1及相關知識，求出m、n的值.

解：設（a，b，c）為一組勾股數，a

觀察可知表格中的規律是：當a為奇數時，則b、c是兩個連續的正整數，且b+c=a2.

如：（5，12，13），則12+13=52；（7，24，25），則24+25=72.

所以有132=169=m+n，又m比n小1，所以m+m+1=169，m=84，n=85.

總結：（1）勾股數中各數的相同的整數倍，仍是勾股數，如3，4，5是勾股數，則6，8，10也是勾股數．

（2）常見的勾股數有：①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；④7，24，25；⑤9，40，41．它們的整數倍也都是勾股數.這些勾股數應當牢記，以便解題時及早發現其中的規律.

（3）設（a，b，c）為一組勾股數，a

①當a為奇數時，則b 、c是兩個連續的正整數，且b+c=a2；

②當a為大于4的偶數時，則b、c是兩個連續的奇數或偶數，且b+c=a2.

[三、勾股定理的拓展]

例3學習了勾股定理以后，有同學提出“在直角三角形中，三邊長a、b、c滿足a2+b2=c2，或許其他的三角形三邊也有這樣的關系.”讓我們來做做實驗!

（1）畫出任意一個銳角三角形，量出各邊的長度（精確到1 mm）.較短的兩條邊長分別是a= mm，b= mm；較長的一條邊長c= mm. 比較a2+b2 c2（填“>”，“<”或“=”）.

（2）畫出任意一個鈍角三角形，量出各邊的長度（精確到1 mm）.較短的兩條邊長分別是a= mm，b= mm；較長的一條邊長c= mm. 比較a2+b2 c2（填“>”，“<”，或“=”）.

（3）根據以上的操作和結果，結合這位同學提出的看法，你猜想的結論是： .利用勾股定理證明你的結論．

解：（1）、（2）略.

（3）猜想的結論是：△ABC的三邊長分別為a、b、c.若△ABC是銳角三角形，則有a2+b2>c2；若△ABC是鈍角三角形，∠C為鈍角，則有a2+b2

①當△ABC是銳角三角形時，如圖2，過點A作AD⊥BC，垂足為D.設CD=x，則有BD=a-x.根據勾股定理，得b2-x2=AD2=c2-（a-x）2.

即b2-x2=c2-a2+2ax-x2.故a2+b2=c2+2ax.

∵a>0，x>0，∴2ax>0. a2+b2>c2.

②當△ABC是鈍角三角形時，如圖3，過B作BD⊥AC，交AC的延長線于D.

設CD=x，則有BD2=a2-x2.

根據勾股定理，得AD2+BD2=AB2，（b+x）2+a2-x2=c2．即a2+b2+2bx=c2.

∵b>0，x>0，∴2bx>0. a2+b2

總結：（3）中得到的結論，可以用來判斷一個三角形的形狀.若ac2時，△ABC為銳角三角形；當a2+b2

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。