共角定理

在三角形中，角與邊總是相對的.那么，既然有共邊定理，是否存在共角定理呢？答案是肯定的！我們先來看一個常見的題目.

例1如圖1，P、Q分別在△ABC的邊AB、AC上，且AB=3AP，AC=4AQ．求△APQ和△ABC的面積之比.

解：連接CP，則==，==，則=·=·=.

探究例1的本質，我們發現△ABC和△APQ有公共角∠A，而且題目所牽涉到的“線段”都是在∠A的兩邊，而不是在BC或PQ上.而例1的解答，則是通過作輔助線，將兩個共角的三角形轉化為共邊的三角形.把這個例子推廣到一般的情形，就是共角定理.

共角定理：△ABC和△XYZ中，若∠ABC和∠XYZ相等或互補，則有=.

形象地說，共角定理就是指，兩個三角形，若有一個角相等（或互補），則這兩個三角形的面積之比就等于（夾這個角的）各自兩邊之積的比.

證明：如圖2、圖3，仿照例1的證明，=·=·=.

我們以前說過，一個定理重要與否，要看它解決問題的多少，也要看它應用范圍的大小.一般來說，應用范圍較小的命題是不能稱之為定理的.下面，我們就來看一看共角定理的威力到底有多大.

例2（角平分線定理）如圖4，在△ABC中，已知AD是∠BAC的角平分線.求證：=.

證明：=[共角定理][=]=.

例3（三角形中位線定理）如圖5所示，在△ABC中，AB的中點為M，過M作BC的平行線與邊AC交于N.求證：=.

證明：由MN∥BC可知∠ANM=∠C.由共角定理可得

=[∠ANM=∠C][=]，

再由=，約去，可得=.

例4如圖6，已知△ABC和△XYZ中，∠A=∠X，∠B=∠Y.求證：==.

證明：由題意可知∠C=∠Z.由共角定理可得===.各項同乘以，可得==.

例5如圖7，點D、E、F分別為△ABC三邊上的點，且===.求證：=1-.

證明：[∠A為公共角][=]=·=.同理，=，=.所以==1-.

例6如圖8，點E、F、G、H分別為四邊形ABCD各邊上的點，且====.求證：=1-.

證明：由共角定理，==·=.同理=，=，=.所以

==1-.①

而S△AFE=S△ABD，S△BGF=S△BCA，S△CGH=S△CBD，S△DEH=S△DAC，故S△AFE+S△BGF+S△CGH+S△DEH=（S△ABD+S△BCA+S△CBD+S△DAC）=·2S四邊形ABCD.

代入①有=1-.

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。