反比例函數面面觀

康松，山東省淄博市博山區教研室數學教研員，淄博市教學能手，兩次獲山東省中小學教育科研優秀成果一等獎，省級以上刊物發表論文30余篇．出版有《同步訓練》等書籍．

近年中考關于反比例函數的題型多樣，考查方式靈活，既注意對知識的把握，又注意能力的提升．下面結合2008年中考題對反比例函數相關知識點進行歸類解析．

一、反比例函數的概念、圖象與性質

1. 反比例函數的系數和解析式

例1 （2008年南安市）已知反比例函數的圖象過點（－3，1），則此函數的解析式為_____．

分析： 確定反比例函數的解析式，可用待定系數法.因為只有一個待定系數，故只需一個點的坐標或一個合適條件即可．

解：設反比例函數的解析式為y= （k≠0），將點（－3，1）的坐標代入，解得k＝-3．此函數的解析式為y=- ．

練習1 （2008年南昌市）下列四個點中，在反比例函數y= 圖象上的是（）.

A． （1，-6） B． （2，4） C． （3，-2） D． （-6，-1）

2. 反比例函數的圖象

例2 （2008年江西省）若點（x0，y0）在函數y＝ （x>0）的圖象上，且x0y0＝－2，則它的大致圖象是（）.

分析： 反比例函數y= 的圖象是雙曲線．當k＞0時，圖象的兩個分支分別在第一、三象限；當k＜0時，圖象的兩個分支分別在第二、四象限．

解：由題意可知k＝xy＝x0y0＝－2．因為k＜0，所以雙曲線的兩個分支分別在第二、四象限．又因為x>0，所以圖象在第四象限．選擇D．

練習2 （2008年南寧市）圖1是反比例函數y= 的圖象，那么實數m的取值范圍是_____．

3. 反比例函數的單調性

例3 （2008年淄博市）已知點（-2，y1），（-1，y2），（3，y3），和（-3，-2）都在反比例函數y= 的圖象上，那么y1，y2，y3的大小關系是（）.

A． y1＜y2＜y3B． y3＜y2＜y1C． y2＜y1＜y3D． y3＜y1＜y2

分析： 運用函數單調性時，應注意條件“在每一象限內”．反比例函數y= 的圖象，當k＞0時，兩個分支分別位于第一、三象限內，在每個象限內，y隨x的增大（減小）而減小（增大）；當k＜0時，兩個分支分別位于第二、四象限內，在每個象限內，y隨x的增大（減小）而增大（減小）．

解：由（-3，-2）在反比例函數y= 的圖象上，可得k＝（－3）×（－2）＝6.由k＞0，可知雙曲線的兩個分支分別位于第一、三象限內，且在每一個象限內，y的值隨著x值的增大而減小．因為－2＜－1＜0＜3，所以y2＜y1＜0＜y3．答案是C．

本題也可求出y1，y2，y3的值再比較大小．

練習3 （2008年白銀市）一個函數具有下列性質：

① 圖象經過點（－1，1）；② 圖象在二、四象限內；③ 在每個象限內，函數值y隨自變量x的增大而增大．則這個函數的解析式可以為_____．

4. 反比例函數系數的幾何意義

例4 （2008年深圳市）如圖2，直線OA與反比例函數y= （k≠0）的圖象在第一象限交于A點，AB⊥x軸于點B，△OAB的面積為2，則k＝_____．

分析： 過雙曲線y= （k≠0）上任一點（x0，y0），分別引x軸、y軸的垂線，所得兩垂線與坐標軸圍成的矩形面積為｜k｜，即｜k｜=｜x0｜#8226;｜y0｜.△OAB的面積為此矩形面積的一半．

解：S△AOB = OB#8226;AB= ｜xA#8226;yA｜= ｜k｜=2.解得k=4．

練習4 （2008年蘭州市）如圖3，已知雙曲線y= （x>0）經過矩形OABC的邊AB，BC的中點F，E，且四邊形OEBF的面積為2，則k=_____．

二、反比例函數與一次函數綜合問題

例5 （2008年蘭州市）已知正比例函數y=kx（k≠0）的圖象與反比例函數y= （k為常數，k≠5）的圖象有一個交點的橫坐標是2，求這兩個函數圖象的交點坐標．

分析： 解此類題常用的方法，是將函數圖象的公共點坐標代入所設的函數解析式，構造方程或方程組，進而解決其他問題．

解：對于方程組y=kx，y= ，當x=2時，可得2k= ，解得k=1．所以正比例函數的解析式為y=x，反比例函數的解析式為y= ．解方程組y=x，y= ，可得x1=2，y1=2，x2=-2，y2=-2.所以兩函數圖象交點的坐標為（2，2），（-2，-2）．

練習5 （2008年郴州市）已知一次函數y=ax＋b的圖象與反比例函數y= 的圖象交于A（2，2），B（－1，m），求一次函數的解析式．

三、反比例函數的應用

例6 （2008年巴中市）為預防“手足口病”，某校對教室進行“藥熏消毒”．已知藥物燃燒階段，室內每立方米空氣中的含藥量y（mg）與燃燒時間x（min）成正比例；燃燒后，y與x成反比例（如圖4）．現測得藥物10 min燃燒完，此時教室內每立方米空氣含藥量為8 mg．據以上信息解答下列問題：

（1） 求藥物燃燒時y與x的函數關系式.

（2） 求藥物燃燒后y與x的函數關系式.

（3） 當每立方米空氣中含藥量低于1.6 mg時，對人體方能無毒害作用，那么從消毒開始，經多長時間學生才可以回教室？

分析： （1） 函數關系已經確定，只要找到其圖象上一個點的坐標，即可求出解析式.顯然點（10，8）在正比例函數圖象上.設y=kx，可求得k= .所以，一次函數解析式是y= x（0≤x≤10）.

（2） 點（10，8）也在反比例函數的圖象上，解析式為y= （x≥10）.

（3） 實際是求當x=1.6時y的值，易得此時y=50 （min）.

解：略.

注意：實際應用問題的函數圖象往往是我們學習的函數圖象的一部分.因此在寫出解析式時一定要注明其取值范圍.比如本題，不注明取值范圍的解析式是錯誤的.

練習6 （2008年貴陽市）利用圖象解一元二次方程x2 +x-3=0時，我們采用的一種方法是：在坐標系中分別畫出拋物線y=x2和直線y=-x+3的圖象，兩圖象交點的橫坐標就是該方程的解．

（1） 利用圖象解一元二次方程x2+x-3=0，也可以這樣求解：在平面直角坐標系中畫出拋物線y=_____和直線y=-x，其交點的橫坐標就是該方程的解．

（2） 已知函數y=- 的圖象（如圖5），利用圖象求方程 -x+3=0的近似解.（結果保留兩個有效數字）．

練習參考答案：1. D 2. m>2 3. 例如y=-4. 2 5. y=2x-2.

6. （1） x2-3 （2） 近似解為x1≈-1.4，x2≈4.4．

責任編輯/馮 琦

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文”。