計(jì)數(shù)問(wèn)題規(guī)律探索

鄭俊哲

計(jì)數(shù)問(wèn)題，就是數(shù)數(shù)問(wèn)題,當(dāng)數(shù)目很小時(shí),數(shù)的仔細(xì)些就能數(shù)對(duì);數(shù)目不是很大時(shí),找對(duì)規(guī)則也一定數(shù)不錯(cuò);但當(dāng)數(shù)目很大時(shí),就要有一定的技巧才能做到又快又對(duì). 常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理、列表法、歸納猜想法、分類討論法等．

對(duì)于計(jì)數(shù)問(wèn)題,常用到高斯求和公式：1+2+3＋…+n= （n+1）n.

一、枚舉法

例1如圖1，ABCD是一個(gè)正方形，邊長(zhǎng)為2 ｃｍ，沿著圖中線段從A到C的最短長(zhǎng)度為4 ｃｍ.這樣的最短路線共有多少條？請(qǐng)一一畫(huà)出來(lái).

解：將各種路線一一列出，可知共6條，見(jiàn)圖2.

二、利用加法原理和乘法原理

加法原理做一件事，完成它有n類辦法，其中第一類辦法中有m1種方法，第二類中有m2種方法，…，第n類辦法中有mｎ種方法，那么完成這件事共有N=m1+m2+…+mｎ種不同的方法.

例2從甲地到乙地可乘火車，也可乘汽車或輪船.一天中火車有4班，汽車有2班，輪船有3班，那么一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

解：完成由甲地到乙地這件事有三類辦法：第一類辦法坐火車，一天中有4種不同走法.第二類辦法坐汽車，一天中有2種不同走法.第三類辦法坐輪船，一天中有3種不同走法.由加法原理得：4+2+3=9（種）．

乘法原理做一件事，完成它需要分成n個(gè)步驟，第一個(gè)步驟有m1種不同的方法，第二個(gè)步驟有m2種不同的方法，…，第n個(gè)步驟有mｎ種不同的方法，那么完成這件事共有N=m1·m2·…·mｎ種不同的方法.

例3由數(shù)字1、2、3、4、5可組成多少個(gè)允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？

解：組成允許有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事可分三個(gè)步驟完成：第一步確定百位上的數(shù)字：有5種不同方法.第二步確定十位上的數(shù)字：有5種不同方法.第三步確定個(gè)位數(shù)字：有5種不同方法.由乘法原理：5×5×5=125（個(gè)）.

三、列表法

列表可簡(jiǎn)單明確地反映題目中數(shù)量關(guān)系、計(jì)算的過(guò)程，既可提高效率、減少和避免錯(cuò)誤，又有利于檢查分析數(shù)據(jù)、得出正確的實(shí)驗(yàn)結(jié)論．

例4三邊都是正整數(shù)，且最長(zhǎng)的邊為11的三角形有多少個(gè)？

解：設(shè)a，b，c 為三角形的三邊，且a≤b≤c，則c=11．又a+b>c,從而2b>11，所以6≤b≤11，我們按b的取值列表：

所以滿足條件的三角形共有：1+3+5+7+9+11=36（個(gè)）．

四、歸納猜想法

歸納猜想就是先對(duì)幾種簡(jiǎn)單情形進(jìn)行分析，然后從中歸納猜想出一般的規(guī)律,再進(jìn)行推廣.

例51條直線最多將平面分成2個(gè)部分；2條直線最多將平面分成4個(gè)部分；3條直線最多將平面分成7個(gè)部分……

（1） 8條直線最多能把平面分成多少部分？

（2）n條直線最多能把平面分成多少部分？

解：1條直線最多將平面分成2個(gè)部分：S=1+1．

2條直線最多將平面分成4個(gè)部分：S=1+1+2．

3條直線最多將平面分成7個(gè)部分：S=1+1+2+3．

現(xiàn)在添上第4條直線．它與前面的3條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)，這3個(gè)交點(diǎn)將第4條直線分成4段，其中每一段將原來(lái)所在平面部分一分為二，所以4條直線最多將平面分成 7+4=11個(gè)部分：S=1+1+2+3+4．

依此類推：8條直線最多將平面分成的部分?jǐn)?shù)：S=1+1+2+3+4+5+6+7+8＝37（個(gè)）．

n條直線最多將平面分成的部分?jǐn)?shù)：S=1+1+2+3+…+n= ．

五、分類討論法

分類討論的思想方法的實(shí)質(zhì)是把問(wèn)題“分而治之，各個(gè)擊破”．其一般規(guī)則及步驟是：（1）確定同一分類標(biāo)準(zhǔn)；（2）恰當(dāng)?shù)貙?duì)全體對(duì)象進(jìn)行分類，按照標(biāo)準(zhǔn)對(duì)分類做到“既不重復(fù)又不遺漏”；（3）逐類討論，按一定的層次討論，逐級(jí)進(jìn)行；（4）綜合概括小結(jié)，歸納得出結(jié)論．

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