共邊定理與平行線

張景中

前面兩期我們介紹了共邊定理.共邊定理的內容是：若直線AB和PQ相交于點M，則有：=.那么，假如直線AB∥PQ，交點M不存在，那又當如何呢？這樣想問題，叫做從反面著想.數學里的很多命題，如果從反面想一想，往往能開辟出新天地.

如圖1，當PQ∥AB時，易知△PAB與△QAB的高相等，從而S△PAB=S△QAB.把這個性質與共邊定理相結合，可以解決不少問題.

例1如圖2，已知?ABCD的兩條對角線AC、BD交于點O，求證：AO=CO.

證明：利用共邊定理，===1.則AO=CO.

同樣，我們還可以證明BO=DO，合在一起就證明了平行四邊形對角線互相平分.

這么簡短的證明過程，你看明白了沒有？首先利用共邊定理，將線段比轉化為面積比，然后利用AB∥DC和AD∥BC，分別得出S△ABD=S△ABC和S△CBD=S△ABC.這樣就證明出來了.

例2如圖3，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點，點F為BC邊上異于B、C的任意一點.連接AF、DE，交于點G.求證：AG=FG.

證明：====1.則AG=FG.

例3如圖4，在?ABCD中，E、F分別為CD、AD的中點.連接BF、BE，分別交AC于點R、T.求證：R、T分別為AC的三等分點.

證明：由共邊定理，===2，所以點T為AC的三等分點.

同理可證，點R為AC的三等分點.

例4如圖5，梯形ABCD的對角線交于點O.過O作平行于梯形下底AB的直線，與兩腰AD、BC交于M、N.求證：MO=NO.

證明：由共邊定理，======1（因S△ABD=S△ABC）.所以MO=NO.

例5已知線段AB和平行于AB的直線CD，請僅用直尺作出AB的中點.

作法：如圖6.

（1）作出線段AB和直線CD.

（2）在線段AB和直線CD外任取一點E，連接AE、BE，分別交直線CD于F、G兩點.

（3）連接AG、BF，交于點H.

（4）連接EH，延長EH交AB于點I.則點I即為所求.

證明：由共邊定理，==·=·=·=1.

最后一步用到了AB∥CD（從而S△BFG=S△AFG）.類似可證EH平分FG.這也是梯形中一個很有用的結論：延長梯形兩腰所得的交點和梯形兩條對角線的交點的連線，平分梯形的上底和下底！可能你覺得這個例子很簡單，其實不然.1978年舉行全國中學生數學競賽時，數學大師華羅庚在北京主持命題小組的工作.著名數學家蘇步青寫信給華羅庚，建議出這個題目.但命題小組認為這個題目太難，改成“給出作好的圖形，只要求證明”.可見此題難度不小.

此外，我們由這個題目的證明過程可以看出·=1，也即=.等式兩邊同加1，則有=.這是一個很重要的性質（以后學習相似三角形時會學到），它實際上表明：三角形若被一條平行于一邊的直線所截，則另兩邊上被截得的線段對應成比例.這個性質在后面例7的證明中會被用到.

例6如圖7，在?ABCD中，EF∥AD且EF交AC于點G.求證：S△ABG=S△ADF .

證明：如圖8，連接DG.由EF∥AD，得S△ADG=S△ADF.連接BD交AC于點O，則由共邊定理知==1（根據例1的結論），所以S△ABG=S△ADG=S△ADF.

例7如圖9，梯形ABCD的兩腰BA、CD延長后交于點E，F是BC上異于B、C的任意一點.求證：[S四邊形EAFD][2]=S△EAD·S△EBC .

證明：由BC∥AD，得S四邊形EAFD=S△AED+S△AFD=S△AED+S△BAD=S△EBD，

∴ =·=·=1.

∴ [S四邊形EAFD][2]=S△EAD·S△EBC .

例8如圖10，BD∥CA，BA∥CE.求證：[S△ABC][2]=S△ABD·S△AEC .

證明：=·=·=1.

∴ [S△ABC][2]=S△ABD·S△AEC.

前面幾個例題的解答過程都比較短.有時，我們會遇到一些較難的題目，不是簡短的幾行解答就能解決的.拿到一個數學題，不論用什么方法去解，其目的只有一個——將所給問題解決掉.從已知出發，不斷進行推理，最后得出結果，此為“進”也.然而在很多問題的解答過程中，如果“當前的”問題太難，我們可以嘗試解答一個與之類似但較為容易的問題，為了達到“進”的目的，先“退”下來.

通過這三期大量的例題，大家應該已經感受到了共邊定理的威力.對于這樣一個看似簡單，但用途極廣的解題工具，我們應該熟練地掌握.對于較復雜的題目，一開始可能無從下手，我們可以退一步想，正如數學大師華羅庚所說的那樣：“善于‘退，足夠地‘退，‘退到最原始而又不失去重要性的地方，是學好數學的一個訣竅！”在這一過程中，我們的數學素養和解題能力就會提高了.

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