不等式中的數學思想

李寒月　曲麗娜

如何學習不等式？怎樣更好地掌握不等式及其相關內容呢？從不等式所蘊涵的數學思想出發，可以深化我們對不等式的理解和掌握.

一、不等式與等式——辨證統一思想

現實世界中的數量關系有不等和相等兩類．與相等關系相比，不等關系在現實世界中更為普遍．不等式就是描述現實世界不等關系的一種重要的數學表示形式.不等與相等存在著既對立又統一的關系.

一方面，對于兩個數a、b，其大小關系只有兩種情況：a ＝b或者a≠b．二者是對立的，不能同時存在.

另一方面，對于不相等的兩個數a、b，a＞b等價于存在正數c滿足a ＝ b＋c；反之，如果存在正數c滿足a ＝ b＋c，那么一定有a＞b.

根據這一結論，我們很容易證明不等式的基本性質.

對于性質1“在不等式的兩邊同時加上或減去同一個代數式，不等號的方向不變”：設a＞b，則a＝b＋c（c＞0），根據等式的基本性質，a＋d＝b＋c＋d（c＞0），即a＋d＝（b＋d）＋c（c＞0），所以，a＋d＞b＋d.

請大家利用a＞b?a＝b＋c（c＞0）的結論，嘗試證明在不等式的兩邊同時減去一個代數式的情況.

對于性質2“在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個正數，不等號的方向不變”，我們仍然可以利用a＞b?a＝b＋c（c＞0）的結論給出證明：設a＞b，則a＝b＋c（c＞0），根據等式的基本性質，ad＝（b＋c）d（c＞0，d＞0），即ad＝bd＋cd（c＞0，d＞0），所以，ad＞bd.

同理，可以證明在不等式的兩邊同時除以一個正數的情況，請大家試著證明.

看了上面兩個性質的證明，對于性質3“在不等式的兩邊同時乘以或除以同一個負數，不等號的方向改變”，大家可以輕松證明了吧．動手試一試吧！

二、解一元一次不等式（組）——數形結合思想

不等式的基本性質是解不……