方案設(shè)計型中考題解法探討

陸海泉

在生產(chǎn)、運輸、營銷、購物等經(jīng)濟活動中，常需要運用不等式、一次函數(shù)等知識設(shè)計不同的方案，或制定一個最佳方案.這類題材已成為中考命題的熱點之一.現(xiàn)從2007年中考題中擷取幾例進行解析，供同學(xué)們參考.

運用不等式的基本知識

例1（遼寧省十二市）某辦公用品銷售商店推出兩種優(yōu)惠方法：①購1個書包，贈送1支水性筆；②購書包和水性筆一律按九折優(yōu)惠.書包每個定價20元，水性筆每支定價5元.小麗和同學(xué)需買4個書包和水性筆若干支（不少于4支）.

（1）分別寫出按兩種優(yōu)惠方法購買時總費用y（元）與所買水性筆支數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系式.

（2）對x的取值情況進行分析，說明按哪種優(yōu)惠方法（只按一種優(yōu)惠方法）購買比較劃算.

（3）小麗和同學(xué)需買書包4個和水性筆12支，怎樣購買最經(jīng)濟？

解：（1）設(shè)按優(yōu)惠方法①購買需用y元，按優(yōu)惠方法②購買需用y元，則y=（x-4）×5+4×20=5x+60，y=（5x+20×4）×0.9=4.5x+72.

（2）設(shè)y>y，即5x+60>4.5x+72，則x>24.故當(dāng)x>24時，應(yīng)選擇優(yōu)惠方法②.

設(shè)y=y，解得x=24.故當(dāng)x=24時，選擇優(yōu)惠方法①和②均可.

所以當(dāng)4≤x<24時，應(yīng)選擇優(yōu)惠方法①.

（3）因為需要購買4個書包和12支水性筆，而12<24，所以有以下購買方案.

購買方案一：只用優(yōu)惠方法①購買，需5x+60=5×12+60=120（元）.

購買方案二：采用兩種優(yōu)惠方法.先用優(yōu)惠方法①購買4個書包，需要4×20=80（元），同時獲贈4支水性筆；再用優(yōu)惠方法②購買8支水性筆，需要8×5×0.9=36（元）.共需80+36=116（元）.

顯然，116<120.故采用購買方案二購買最經(jīng)濟.

點評：由題意“不少于4支”，得x≥4，“等號”在解題中不可遺漏.

運用不等式的整數(shù)解

例2（吉林省）某商店在一次促銷活動中規(guī)定：消費者消費滿200元或超過200元就可享受打折優(yōu)惠.某同學(xué)打算在該商店為班級買獎品，準(zhǔn)備買6本影集和若干支鋼筆.已知影集每本15元，鋼筆每支8元.問：他至少要買多少支鋼筆才能打折？

解：設(shè)該同學(xué)至少買x支鋼筆才能打折.根據(jù)題意，得15×6+8x≥200.解得x≥13.

∵ x為整數(shù)，∴ x的最小值為14.

∴ 該同學(xué)至少要買14支鋼筆才能打折.

點評：由“至少”可列出用“≥”連接而成的不等式，由“至少”又知在x≥13的范圍內(nèi)，應(yīng)取x=14.整數(shù)解是此類問題中一個十分重要的隱含條件.

例3（齊齊哈爾）下崗職工王阿姨利用自己的一技之長開辦了“愛心服裝廠”.她計劃生產(chǎn)甲、乙兩種型號的服裝共40套，然后將它們投放到市場銷售.已知甲型服裝每套成本34元，售價39元；乙型服裝每套成本42元，售價50元.要求兩種服裝的總成本不低于1 536元，不高于1 552元.

（1）服裝廠有哪幾種生產(chǎn)方案？

（2）該服裝廠怎樣生產(chǎn)獲得的利潤最大？

（3）若40套服裝全部售出后，服裝廠又生產(chǎn)6套服裝捐贈給某社區(qū)低保戶，這樣服裝廠僅獲利潤25元.請直接寫出這種情況下服裝廠是按哪種方案生產(chǎn)的.

解：（1）設(shè)生產(chǎn)甲型服裝x套，則生產(chǎn)乙型服裝為（40-x）套，由題意得1 536≤34x+42（40-x）≤1 552.

解得16≤x≤18.

∵ x是非負整數(shù)，∴ x為16或17或18.

有以下三種生產(chǎn)方案：

生產(chǎn)甲型服裝16套，乙型服裝24套；或甲型服裝17套，乙型服裝23套；或甲型服裝18套，乙型服裝22套.

（2）設(shè)所獲利潤為y元，由題意有：

y=（39-34）x+（50-42）（40-x）=-3x+320.

∵ y隨x的增大而減小，∴ x=16時，y有最大值.

∴ 生產(chǎn)甲型服裝16套、乙型服裝24套時，獲得的利潤最大.

（3）服裝廠采用的方案是：生產(chǎn)甲型服裝17套、乙型服裝23套.（提示：可由y=-3x+320，算出當(dāng)x為16，17，18時y的值，設(shè)為c.設(shè)捐贈的6套服裝中m套為甲型，n套為乙型，則m+n=6，34m+42n=c-25.看哪種情況下聯(lián)立解出的m、n均為非負整數(shù)）

點評：（1）由x的不同取值（正整數(shù)）可得不同的方案，是解這類題的普通規(guī)律；（2）一次函數(shù)y=kx+b本沒有最大值和最小值，但當(dāng)x的取值范圍縮小為某些區(qū)間或只取幾個特殊值時，就能得到y(tǒng)的最值，從而求得最佳方案.

運用不等式組

例4（青島）飲料廠開發(fā)了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和乙，每瓶飲料中甲、乙兩種原料的含量如下表所示.現(xiàn)用甲原料和乙原料各2 800 g進行生產(chǎn)，計劃生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶.設(shè)生產(chǎn)A種飲料x瓶.解答下列問題.

（1）有幾種符合題意的生產(chǎn)方案？寫出解答過程.

（2）如果A種飲料每瓶的成本為2.6元，B種飲料每瓶的成本為2.8元，這兩種飲料成本總額為y元，請寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并說明x取何值時會使成本總額最低.

解：（1）根據(jù)題意得：20x+30（100-x）≤2 800，

40x+20（100-x）≤2 800.

解這個不等式組，得20≤x≤40.

因為其中正整數(shù)解共有21個，所以符合題意的生產(chǎn)方案有21種.

（2）根據(jù)題意，得y=2.6x+2.8（100-x）=-0.2x+280，20≤x≤40.

∵ k=-0.2<0，y隨x的增大而減小，

∴ 當(dāng)x=40時成本總額最低.

點評：弄清題意、讀懂表格、抓住隱含條件（甲、乙兩種原料的使用量都必須小于或等于2 800 g）是列出不等式組的關(guān)鍵.

例5（武漢）康樂公司在A、B兩地分別有同型號機器17臺和15臺.現(xiàn)要運往甲地18臺，乙地14臺.從A、B兩地運往甲、乙兩地的費用如下表：

（1）如果從A地運往甲地x臺，求完成以上調(diào)運所需總費用y（元）與x（臺）的函數(shù)關(guān)系式.

（2）該公司完成以上調(diào)運至少需要多少費用？為什么？

解：（1）y=600x+500（17-x）+400（18-x）+800[14-（17-x）]=500x+13 300.

（2）由（1）知總費用為y=500x+13 300.顯然有x≥0，

17-x≥0，

18-x≥0，

x-3≥0，故3≤x≤17.

又k=500>0，所以隨著x的增大，y也增大.

∴ 當(dāng)x=3時，y最小值=500×3+13 300=14 800.

∴ 該公司完成以上調(diào)運至少需要14 800元的費用.最低費用的方案是：由A地調(diào)3臺至甲地，14臺至乙地；由B地調(diào)15臺至甲地.

點評：總費用y=500x+13 300，又是一次函數(shù)關(guān)系式！欲求y的最小值，必須縮小x的取值范圍，這是常規(guī)思路.而挖掘題中的隱含條件得到4個關(guān)于x的不等式，解得3≤x≤17，則是解題的難點，也是關(guān)鍵之處.

每天與他人閑聊10分鐘可提高記憶力

一項最新的研究發(fā)現(xiàn)，聊天有助于提高大腦功能，使人變得聰明.

美國一個研究小組發(fā)現(xiàn)，每天只需和他人閑聊10分鐘，就能提高記憶力；實驗人群在智力測驗中的得分也顯著提高. 這項研究是由美國密歇根大學(xué)社會學(xué)研究學(xué)會心理學(xué)家奧斯卡·亞巴拉領(lǐng)導(dǎo)完成的.他在一份書面聲明中表示，“社交活動和傳統(tǒng)的提高記憶以及智力水平的做法同樣有效.”

亞巴拉帶領(lǐng)其研究小組對3 610人的數(shù)據(jù)進行了分析，而這些人的年齡跨度是從24歲到96歲. 研究小組發(fā)現(xiàn)，一個人的社交互動水平越高，他的認知能力表現(xiàn)就越好. 研究人員解釋說，社交互動包括聚會以及同親屬、朋友和鄰居通電話. 為了驗證聊天是否有助于提高大腦功能，研究人員進行了另外一項實驗. 研究人員在實驗室內(nèi)對76名大學(xué)生進行了實驗，分析、評估社交互動以及智力練習(xí)如何影響記憶力和心智表現(xiàn).亞巴拉說：“我們發(fā)現(xiàn)，短短的10分鐘社交互動活動提高了參與者的智力表現(xiàn)，其功效不遜于相同時間長的所謂‘智力活動.”這些研究成果表明，每天和他人進行友好的交談，同每天猜字謎一樣，有助于提高人們的心智水平. （摘自2007年11月19日新浪網(wǎng)）

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文